Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24530 / 25683
↖ ↑ ↗
← S 70.913049°
E 89.494629°		 ← 399.46 m → S 70.913049°
E 89.505615°		 →
↑
399.40 m
↓
↑
399.40 m
↓
S 70.916641°
E 89.494629°		 ← 399.39 m →
159 528 m²		 S 70.916641°
E 89.505615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748611450195312 y=0.783798217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748611450195312 × 215)
    floor (0.748611450195312 × 32768)
    floor (24530.5)     		tx = 24530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783798217773438 × 215)
    floor (0.783798217773438 × 32768)
    floor (25683.5)     		ty = 25683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24530 / 25683 ti = "15/24530/25683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24530/25683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24530 ÷ 215
    24530 ÷ 32768     		x = 0.74859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25683 ÷ 215
    25683 ÷ 32768     		y = 0.783782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74859619140625 × 2 - 1) × π
    0.4971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56197594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.56756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78306091826761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56197594} λ = 1.56197594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78306091826761))-π/2
    2×atan(0.168122748881581)-π/2
    2×0.166565070667951-π/2
    0.333130141335901-1.57079632675     		φ = -1.23766619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56197594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23766619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.913049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24530 KachelY 25683 1.56197594 -1.23766619 89.494629 -70.913049
    Oben rechts KachelX + 1 24531 KachelY 25683 1.56216768 -1.23766619 89.505615 -70.913049
    Unten links KachelX 24530 KachelY + 1 25684 1.56197594 -1.23772888 89.494629 -70.916641
    Unten rechts KachelX + 1 24531 KachelY + 1 25684 1.56216768 -1.23772888 89.505615 -70.916641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23766619--1.23772888) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dl = 399.397989998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23766619--1.23772888) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dr = 399.397989998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56197594-1.56216768) × cos(-1.23766619) × R
    0.000191739999999996 × 0.327002678062267 × 6371000     		do = 399.458473035351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56197594-1.56216768) × cos(-1.23772888) × R
    0.000191739999999996 × 0.326943433902064 × 6371000     		du = 399.38610181836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23766619)-sin(-1.23772888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327002678062267-0.326943433902064)×R²
    abs(1.56216768-1.56197594)×5.92441602026428e-05×R²
    0.000191739999999996×5.92441602026428e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.92441602026428e-05×40589641000000     		ar = 159528.458810679m²