Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24529 / 25936
↖ ↑ ↗
← S 71.801410°
E 89.483643°		 ← 381.53 m → S 71.801410°
E 89.494629°		 →
↑
381.50 m
↓
↑
381.50 m
↓
S 71.804841°
E 89.483643°		 ← 381.46 m →
145 539 m²		 S 71.804841°
E 89.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748580932617188 y=0.791519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748580932617188 × 215)
    floor (0.748580932617188 × 32768)
    floor (24529.5)     		tx = 24529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791519165039062 × 215)
    floor (0.791519165039062 × 32768)
    floor (25936.5)     		ty = 25936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24529 / 25936 ti = "15/24529/25936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24529/25936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24529 ÷ 215
    24529 ÷ 32768     		x = 0.748565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25936 ÷ 215
    25936 ÷ 32768     		y = 0.79150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748565673828125 × 2 - 1) × π
    0.49713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56178419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83157306068311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56178419} λ = 1.56178419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83157306068311))-π/2
    2×atan(0.160161425867924)-π/2
    2×0.158812654738502-π/2
    0.317625309477003-1.57079632675     		φ = -1.25317102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56178419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.483643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25317102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.801410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24529 KachelY 25936 1.56178419 -1.25317102 89.483643 -71.801410
    Oben rechts KachelX + 1 24530 KachelY 25936 1.56197594 -1.25317102 89.494629 -71.801410
    Unten links KachelX 24529 KachelY + 1 25937 1.56178419 -1.25323090 89.483643 -71.804841
    Unten rechts KachelX + 1 24530 KachelY + 1 25937 1.56197594 -1.25323090 89.494629 -71.804841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25317102--1.25323090) × R
    5.98800000000121e-05 × 6371000     		dl = 381.495480000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25317102--1.25323090) × R
    5.98800000000121e-05 × 6371000     		dr = 381.495480000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.25317102) × R
    0.000191749999999935 × 0.312311532890939 × 6371000     		do = 381.532026807108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.25323090) × R
    0.000191749999999935 × 0.312254647544227 × 6371000     		du = 381.462533434815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25317102)-sin(-1.25323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312311532890939-0.312254647544227)×R²
    abs(1.56197594-1.56178419)×5.6885346711999e-05×R²
    0.000191749999999935×5.6885346711999e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.6885346711999e-05×40589641000000     		ar = 145539.488042108m²