Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24529 / 25682
↖ ↑ ↗
← S 70.909456°
E 89.483643°		 ← 399.55 m → S 70.909456°
E 89.494629°		 →
↑
399.53 m
↓
↑
399.53 m
↓
S 70.913049°
E 89.483643°		 ← 399.48 m →
159 617 m²		 S 70.913049°
E 89.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748580932617188 y=0.783767700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748580932617188 × 215)
    floor (0.748580932617188 × 32768)
    floor (24529.5)     		tx = 24529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783767700195312 × 215)
    floor (0.783767700195312 × 32768)
    floor (25682.5)     		ty = 25682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24529 / 25682 ti = "15/24529/25682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24529/25682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24529 ÷ 215
    24529 ÷ 32768     		x = 0.748565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25682 ÷ 215
    25682 ÷ 32768     		y = 0.78375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748565673828125 × 2 - 1) × π
    0.49713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56178419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78286917066913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56178419} λ = 1.56178419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78286917066913))-π/2
    2×atan(0.168154989105823)-π/2
    2×0.166596424498114-π/2
    0.333192848996228-1.57079632675     		φ = -1.23760348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56178419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.483643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23760348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.909456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24529 KachelY 25682 1.56178419 -1.23760348 89.483643 -70.909456
    Oben rechts KachelX + 1 24530 KachelY 25682 1.56197594 -1.23760348 89.494629 -70.909456
    Unten links KachelX 24529 KachelY + 1 25683 1.56178419 -1.23766619 89.483643 -70.913049
    Unten rechts KachelX + 1 24530 KachelY + 1 25683 1.56197594 -1.23766619 89.494629 -70.913049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23760348--1.23766619) × R
    6.27100000001324e-05 × 6371000     		dl = 399.525410000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23760348--1.23766619) × R
    6.27100000001324e-05 × 6371000     		dr = 399.525410000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.23760348) × R
    0.000191749999999935 × 0.327061939837396 × 6371000     		do = 399.551702886366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.23766619) × R
    0.000191749999999935 × 0.327002678062267 × 6371000     		du = 399.479306375844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23760348)-sin(-1.23766619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327061939837396-0.327002678062267)×R²
    abs(1.56197594-1.56178419)×5.92617751287716e-05×R²
    0.000191749999999935×5.92617751287716e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.92617751287716e-05×40589641000000     		ar = 159616.595842538m²