Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24529 / 25293
↖ ↑ ↗
← S 69.461408°
E 89.483643°		 ← 428.60 m → S 69.461408°
E 89.494629°		 →
↑
428.58 m
↓
↑
428.58 m
↓
S 69.465263°
E 89.483643°		 ← 428.52 m →
183 671 m²		 S 69.465263°
E 89.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748580932617188 y=0.771896362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748580932617188 × 215)
    floor (0.748580932617188 × 32768)
    floor (24529.5)     		tx = 24529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771896362304688 × 215)
    floor (0.771896362304688 × 32768)
    floor (25293.5)     		ty = 25293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24529 / 25293 ti = "15/24529/25293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24529/25293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24529 ÷ 215
    24529 ÷ 32768     		x = 0.748565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25293 ÷ 215
    25293 ÷ 32768     		y = 0.771881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748565673828125 × 2 - 1) × π
    0.49713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56178419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.54376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70827935486032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56178419} λ = 1.56178419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70827935486032))-π/2
    2×atan(0.181177266355163)-π/2
    2×0.179233023713496-π/2
    0.358466047426991-1.57079632675     		φ = -1.21233028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56178419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.483643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21233028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.461408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24529 KachelY 25293 1.56178419 -1.21233028 89.483643 -69.461408
    Oben rechts KachelX + 1 24530 KachelY 25293 1.56197594 -1.21233028 89.494629 -69.461408
    Unten links KachelX 24529 KachelY + 1 25294 1.56178419 -1.21239755 89.483643 -69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 24530 KachelY + 1 25294 1.56197594 -1.21239755 89.494629 -69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21233028--1.21239755) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dl = 428.577169999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21233028--1.21239755) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dr = 428.577169999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.21233028) × R
    0.000191749999999935 × 0.350838197453025 × 6371000     		do = 428.59771240772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56178419-1.56197594) × cos(-1.21239755) × R
    0.000191749999999935 × 0.350775202603175 × 6371000     		du = 428.520755426595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21233028)-sin(-1.21239755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350838197453025-0.350775202603175)×R²
    abs(1.56197594-1.56178419)×6.2994849849729e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2994849849729e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2994849849729e-05×40589641000000     		ar = 183670.703718592m²