Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24528 / 25904
↖ ↑ ↗
← S 71.691293°
E 89.472656°		 ← 383.76 m → S 71.691293°
E 89.483643°		 →
↑
383.73 m
↓
↑
383.73 m
↓
S 71.694743°
E 89.472656°		 ← 383.69 m →
147 246 m²		 S 71.694743°
E 89.483643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748550415039062 y=0.790542602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748550415039062 × 215)
    floor (0.748550415039062 × 32768)
    floor (24528.5)     		tx = 24528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790542602539062 × 215)
    floor (0.790542602539062 × 32768)
    floor (25904.5)     		ty = 25904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24528 / 25904 ti = "15/24528/25904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24528/25904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24528 ÷ 215
    24528 ÷ 32768     		x = 0.74853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25904 ÷ 215
    25904 ÷ 32768     		y = 0.79052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56159244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56159244} λ = 1.56159244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82543713753174))-π/2
    2×atan(0.161147185247982)-π/2
    2×0.159773611929991-π/2
    0.319547223859982-1.57079632675     		φ = -1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56159244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24528 KachelY 25904 1.56159244 -1.25124910 89.472656 -71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 24529 KachelY 25904 1.56178419 -1.25124910 89.483643 -71.691293
    Unten links KachelX 24528 KachelY + 1 25905 1.56159244 -1.25130933 89.472656 -71.694743
    Unten rechts KachelX + 1 24529 KachelY + 1 25905 1.56178419 -1.25130933 89.483643 -71.694743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25124910--1.25130933) × R
    6.02300000001055e-05 × 6371000     		dl = 383.725330000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25124910--1.25130933) × R
    6.02300000001055e-05 × 6371000     		dr = 383.725330000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56159244-1.56178419) × cos(-1.25124910) × R
    0.000191749999999935 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 383.761771480876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56159244-1.56178419) × cos(-1.25130933) × R
    0.000191749999999935 × 0.314079558433003 × 6371000     		du = 383.691916204295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25124910)-sin(-1.25130933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314079558433003)×R²
    abs(1.56178419-1.56159244)×5.71815915224594e-05×R²
    0.000191749999999935×5.71815915224594e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.71815915224594e-05×40589641000000     		ar = 147245.709827733m²