Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24527 / 25296
↖ ↑ ↗
← S 69.472968°
E 89.461670°		 ← 428.37 m → S 69.472968°
E 89.472656°		 →
↑
428.32 m
↓
↑
428.32 m
↓
S 69.476820°
E 89.461670°		 ← 428.29 m →
183 463 m²		 S 69.476820°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748519897460938 y=0.771987915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748519897460938 × 215)
    floor (0.748519897460938 × 32768)
    floor (24527.5)     		tx = 24527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771987915039062 × 215)
    floor (0.771987915039062 × 32768)
    floor (25296.5)     		ty = 25296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24527 / 25296 ti = "15/24527/25296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24527/25296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24527 ÷ 215
    24527 ÷ 32768     		x = 0.748504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25296 ÷ 215
    25296 ÷ 32768     		y = 0.77197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748504638671875 × 2 - 1) × π
    0.49700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56140069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56140069} λ = 1.56140069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70885459765576))-π/2
    2×atan(0.181073075408414)-π/2
    2×0.179132142315025-π/2
    0.358264284630051-1.57079632675     		φ = -1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56140069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.461670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24527 KachelY 25296 1.56140069 -1.21253204 89.461670 -69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 24528 KachelY 25296 1.56159244 -1.21253204 89.472656 -69.472968
    Unten links KachelX 24527 KachelY + 1 25297 1.56140069 -1.21259927 89.461670 -69.476820
    Unten rechts KachelX + 1 24528 KachelY + 1 25297 1.56159244 -1.21259927 89.472656 -69.476820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21253204--1.21259927) × R
    6.72299999999737e-05 × 6371000     		dl = 428.322329999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21253204--1.21259927) × R
    6.72299999999737e-05 × 6371000     		dr = 428.322329999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56140069-1.56159244) × cos(-1.21253204) × R
    0.000191750000000157 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 428.366892851374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56140069-1.56159244) × cos(-1.21259927) × R
    0.000191750000000157 × 0.350586292818427 × 6371000     		du = 428.289975819335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21253204)-sin(-1.21259927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.350586292818427)×R²
    abs(1.56159244-1.56140069)×6.29621486371579e-05×R²
    0.000191750000000157×6.29621486371579e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.29621486371579e-05×40589641000000     		ar = 183462.633069613m²