Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24525 / 40715
↖ ↑ ↗
← S 39.956070°
W 45.280152°		 ← 468.24 m → S 39.956070°
W 45.274658°		 →
↑
468.20 m
↓
↑
468.20 m
↓
S 39.960280°
W 45.280152°		 ← 468.21 m →
219 226 m²		 S 39.960280°
W 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374229431152344 y=0.621269226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374229431152344 × 216)
    floor (0.374229431152344 × 65536)
    floor (24525.5)     		tx = 24525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621269226074219 × 216)
    floor (0.621269226074219 × 65536)
    floor (40715.5)     		ty = 40715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24525 / 40715 ti = "16/24525/40715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24525/40715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24525 ÷ 216
    24525 ÷ 65536     		x = 0.374221801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40715 ÷ 216
    40715 ÷ 65536     		y = 0.621261596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374221801757812 × 2 - 1) × π
    -0.251556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79028773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621261596679688 × 2 - 1) × π
    -0.242523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.761909082561173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79028773} λ = -0.79028773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761909082561173))-π/2
    2×atan(0.46677446487524)-π/2
    2×0.436715676583472-π/2
    0.873431353166945-1.57079632675     		φ = -0.69736497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79028773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.280152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69736497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.956070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24525 KachelY 40715 -0.79028773 -0.69736497 -45.280152 -39.956070
    Oben rechts KachelX + 1 24526 KachelY 40715 -0.79019185 -0.69736497 -45.274658 -39.956070
    Unten links KachelX 24525 KachelY + 1 40716 -0.79028773 -0.69743846 -45.280152 -39.960280
    Unten rechts KachelX + 1 24526 KachelY + 1 40716 -0.79019185 -0.69743846 -45.274658 -39.960280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69736497--0.69743846) × R
    7.34900000000094e-05 × 6371000     		dl = 468.20479000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69736497--0.69743846) × R
    7.34900000000094e-05 × 6371000     		dr = 468.20479000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79028773--0.79019185) × cos(-0.69736497) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766537062957832 × 6371000     		do = 468.240299382338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79028773--0.79019185) × cos(-0.69743846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766489865604712 × 6371000     		du = 468.211468809332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69736497)-sin(-0.69743846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766537062957832-0.766489865604712)×R²
    abs(-0.79019185--0.79028773)×4.71973531197545e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71973531197545e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71973531197545e-05×40589641000000     		ar = 219225.601834442m²