Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24523 / 40643
↖ ↑ ↗
← S 39.652227°
W 45.291137°		 ← 470.26 m → S 39.652227°
W 45.285644°		 →
↑
470.31 m
↓
↑
470.31 m
↓
S 39.656456°
W 45.291137°		 ← 470.24 m →
221 162 m²		 S 39.656456°
W 45.285644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374198913574219 y=0.620170593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374198913574219 × 216)
    floor (0.374198913574219 × 65536)
    floor (24523.5)     		tx = 24523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620170593261719 × 216)
    floor (0.620170593261719 × 65536)
    floor (40643.5)     		ty = 40643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24523 / 40643 ti = "16/24523/40643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24523/40643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24523 ÷ 216
    24523 ÷ 65536     		x = 0.374191284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40643 ÷ 216
    40643 ÷ 65536     		y = 0.620162963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.251617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79047947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620162963867188 × 2 - 1) × π
    -0.240325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.755006169015884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79047947} λ = -0.79047947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755006169015884))-π/2
    2×atan(0.470007715236533)-π/2
    2×0.439367206568414-π/2
    0.878734413136827-1.57079632675     		φ = -0.69206191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79047947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.291137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69206191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.652227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24523 KachelY 40643 -0.79047947 -0.69206191 -45.291137 -39.652227
    Oben rechts KachelX + 1 24524 KachelY 40643 -0.79038360 -0.69206191 -45.285644 -39.652227
    Unten links KachelX 24523 KachelY + 1 40644 -0.79047947 -0.69213573 -45.291137 -39.656456
    Unten rechts KachelX + 1 24524 KachelY + 1 40644 -0.79038360 -0.69213573 -45.285644 -39.656456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69206191--0.69213573) × R
    7.38200000000022e-05 × 6371000     		dl = 470.307220000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69206191--0.69213573) × R
    7.38200000000022e-05 × 6371000     		dr = 470.307220000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79047947--0.79038360) × cos(-0.69206191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769931894080543 × 6371000     		do = 470.264984637321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79047947--0.79038360) × cos(-0.69213573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769884785516426 × 6371000     		du = 470.236211302496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69206191)-sin(-0.69213573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769931894080543-0.769884785516426)×R²
    abs(-0.79038360--0.79047947)×4.71085641168267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71085641168267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71085641168267e-05×40589641000000     		ar = 221162.251534782m²