Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24522 / 40601
↖ ↑ ↗
← S 39.474366°
W 45.296631°		 ← 471.52 m → S 39.474366°
W 45.291137°		 →
↑
471.45 m
↓
↑
471.45 m
↓
S 39.478605°
W 45.296631°		 ← 471.49 m →
222 294 m²		 S 39.478605°
W 45.291137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374183654785156 y=0.619529724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374183654785156 × 216)
    floor (0.374183654785156 × 65536)
    floor (24522.5)     		tx = 24522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619529724121094 × 216)
    floor (0.619529724121094 × 65536)
    floor (40601.5)     		ty = 40601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24522 / 40601 ti = "16/24522/40601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24522/40601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24522 ÷ 216
    24522 ÷ 65536     		x = 0.374176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40601 ÷ 216
    40601 ÷ 65536     		y = 0.619522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.25164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79057535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619522094726562 × 2 - 1) × π
    -0.239044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.7509794694478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79057535} λ = -0.79057535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7509794694478))-π/2
    2×atan(0.471904110645365)-π/2
    2×0.440919339569781-π/2
    0.881838679139562-1.57079632675     		φ = -0.68895765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79057535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68895765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.474366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24522 KachelY 40601 -0.79057535 -0.68895765 -45.296631 -39.474366
    Oben rechts KachelX + 1 24523 KachelY 40601 -0.79047947 -0.68895765 -45.291137 -39.474366
    Unten links KachelX 24522 KachelY + 1 40602 -0.79057535 -0.68903165 -45.296631 -39.478605
    Unten rechts KachelX + 1 24523 KachelY + 1 40602 -0.79047947 -0.68903165 -45.291137 -39.478605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68895765--0.68903165) × R
    7.40000000000185e-05 × 6371000     		dl = 471.454000000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68895765--0.68903165) × R
    7.40000000000185e-05 × 6371000     		dr = 471.454000000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79057535--0.79047947) × cos(-0.68895765) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771909090431987 × 6371000     		do = 471.52181031607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79057535--0.79047947) × cos(-0.68903165) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771862044081849 × 6371000     		du = 471.49307198346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68895765)-sin(-0.68903165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771909090431987-0.771862044081849)×R²
    abs(-0.79047947--0.79057535)×4.70463501374141e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70463501374141e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70463501374141e-05×40589641000000     		ar = 222294.069261575m²