Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24522 / 25290
S 69.449842°
E 89.406738°
← 428.81 m → S 69.449842°
E 89.417724°

428.77 m

428.77 m
S 69.453698°
E 89.406738°
← 428.73 m →
183 842 m²
S 69.453698°
E 89.417724°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748367309570312 y=0.771804809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748367309570312 × 215)
    floor (0.748367309570312 × 32768)
    floor (24522.5)
    tx = 24522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771804809570312 × 215)
    floor (0.771804809570312 × 32768)
    floor (25290.5)
    ty = 25290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24522 / 25290 ti = "15/24522/25290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24522/25290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24522 ÷ 215
    24522 ÷ 32768
    x = 0.74835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25290 ÷ 215
    25290 ÷ 32768
    y = 0.77178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.74835205078125 × 2 - 1) × π
    0.4967041015625 × 3.1415926535
    Λ = 1.56044196
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.5435791015625 × 3.1415926535
    Φ = -1.70770411206488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56044196} λ = 1.56044196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70770411206488))-π/2
    2×atan(0.181281517254246)-π/2
    2×0.179333959469206-π/2
    0.358667918938413-1.57079632675
    φ = -1.21212841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56044196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21212841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.449842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24522 KachelY 25290 1.56044196 -1.21212841 89.406738 -69.449842
    Oben rechts KachelX + 1 24523 KachelY 25290 1.56063370 -1.21212841 89.417724 -69.449842
    Unten links KachelX 24522 KachelY + 1 25291 1.56044196 -1.21219571 89.406738 -69.453698
    Unten rechts KachelX + 1 24523 KachelY + 1 25291 1.56063370 -1.21219571 89.417724 -69.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.21212841--1.21219571) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000
    dl = 428.768299999951m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.21212841--1.21219571) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000
    dr = 428.768299999951m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.56044196-1.56063370) × cos(-1.21212841) × R
    0.000191739999999996 × 0.35102722865756 × 6371000
    do = 428.806276402053m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.56044196-1.56063370) × cos(-1.21219571) × R
    0.000191739999999996 × 0.350964210481211 × 6371000
    du = 428.729294939249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.21212841)-sin(-1.21219571))×
    abs(λ12)×abs(0.35102722865756-0.350964210481211)×
    abs(1.56063370-1.56044196)×6.30181763492943e-05×
    0.000191739999999996×6.30181763492943e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.30181763492943e-05×40589641000000
    ar = 183842.034626296m²