Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24521 / 25285
↖ ↑ ↗
← S 69.430551°
E 89.395752°		 ← 429.21 m → S 69.430551°
E 89.406738°		 →
↑
429.21 m
↓
↑
429.21 m
↓
S 69.434411°
E 89.395752°		 ← 429.14 m →
184 208 m²		 S 69.434411°
E 89.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748336791992188 y=0.771652221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748336791992188 × 215)
    floor (0.748336791992188 × 32768)
    floor (24521.5)     		tx = 24521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771652221679688 × 215)
    floor (0.771652221679688 × 32768)
    floor (25285.5)     		ty = 25285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24521 / 25285 ti = "15/24521/25285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24521/25285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24521 ÷ 215
    24521 ÷ 32768     		x = 0.748321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25285 ÷ 215
    25285 ÷ 32768     		y = 0.771636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    0.49664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56025021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.54327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70674537407248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56025021} λ = 1.56025021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70674537407248))-π/2
    2×atan(0.18145540207383)-π/2
    2×0.179502306590966-π/2
    0.359004613181932-1.57079632675     		φ = -1.21179171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56025021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21179171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.430551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24521 KachelY 25285 1.56025021 -1.21179171 89.395752 -69.430551
    Oben rechts KachelX + 1 24522 KachelY 25285 1.56044196 -1.21179171 89.406738 -69.430551
    Unten links KachelX 24521 KachelY + 1 25286 1.56025021 -1.21185908 89.395752 -69.434411
    Unten rechts KachelX + 1 24522 KachelY + 1 25286 1.56044196 -1.21185908 89.406738 -69.434411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21179171--1.21185908) × R
    6.7370000000011e-05 × 6371000     		dl = 429.21427000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21179171--1.21185908) × R
    6.7370000000011e-05 × 6371000     		dr = 429.21427000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56025021-1.56044196) × cos(-1.21179171) × R
    0.000191749999999935 × 0.351342482934445 × 6371000     		do = 429.213767345028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56025021-1.56044196) × cos(-1.21185908) × R
    0.000191749999999935 × 0.351279407176253 × 6371000     		du = 429.136711523096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21179171)-sin(-1.21185908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351342482934445-0.351279407176253)×R²
    abs(1.56044196-1.56025021)×6.30757581923658e-05×R²
    0.000191749999999935×6.30757581923658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.30757581923658e-05×40589641000000     		ar = 184208.137165752m²