Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24520 / 41165
↖ ↑ ↗
← S 41.824549°
W 45.307617°		 ← 455.20 m → S 41.824549°
W 45.302124°		 →
↑
455.14 m
↓
↑
455.14 m
↓
S 41.828642°
W 45.307617°		 ← 455.17 m →
207 175 m²		 S 41.828642°
W 45.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374153137207031 y=0.628135681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374153137207031 × 216)
    floor (0.374153137207031 × 65536)
    floor (24520.5)     		tx = 24520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628135681152344 × 216)
    floor (0.628135681152344 × 65536)
    floor (41165.5)     		ty = 41165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24520 / 41165 ti = "16/24520/41165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24520/41165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24520 ÷ 216
    24520 ÷ 65536     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41165 ÷ 216
    41165 ÷ 65536     		y = 0.628128051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628128051757812 × 2 - 1) × π
    -0.256256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805052292219223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805052292219223))-π/2
    2×atan(0.447064547950754)-π/2
    2×0.420410122093963-π/2
    0.840820244187925-1.57079632675     		φ = -0.72997608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72997608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.824549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24520 KachelY 41165 -0.79076710 -0.72997608 -45.307617 -41.824549
    Oben rechts KachelX + 1 24521 KachelY 41165 -0.79067122 -0.72997608 -45.302124 -41.824549
    Unten links KachelX 24520 KachelY + 1 41166 -0.79076710 -0.73004752 -45.307617 -41.828642
    Unten rechts KachelX + 1 24521 KachelY + 1 41166 -0.79067122 -0.73004752 -45.302124 -41.828642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72997608--0.73004752) × R
    7.14399999999227e-05 × 6371000     		dl = 455.144239999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72997608--0.73004752) × R
    7.14399999999227e-05 × 6371000     		dr = 455.144239999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79067122) × cos(-0.72997608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745190353653356 × 6371000     		do = 455.200630410578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79067122) × cos(-0.73004752) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745142711858469 × 6371000     		du = 455.171528349661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72997608)-sin(-0.73004752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745190353653356-0.745142711858469)×R²
    abs(-0.79067122--0.79076710)×4.76417948872543e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76417948872543e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76417948872543e-05×40589641000000     		ar = 207175.322246089m²