Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2452 / 2084
↖ ↑ ↗
← N 65.874725°
W 72.246094°		 ← 1 997.27 m → N 65.874725°
W 72.202149°		 →
↑
1 997.95 m
↓
↑
1 997.95 m
↓
N 65.856757°
W 72.246094°		 ← 1 998.67 m →
3 991 837 m²		 N 65.856757°
W 72.202149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.29937744140625 y=0.25445556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.29937744140625 × 213)
    floor (0.29937744140625 × 8192)
    floor (2452.5)     		tx = 2452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25445556640625 × 213)
    floor (0.25445556640625 × 8192)
    floor (2084.5)     		ty = 2084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2452 / 2084 ti = "13/2452/2084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2452/2084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2452 ÷ 213
    2452 ÷ 8192     		x = 0.29931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2084 ÷ 213
    2084 ÷ 8192     		y = 0.25439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.26093221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25439453125 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26093221} λ = -1.26093221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54318467256885))-π/2
    2×atan(4.67946914326195)-π/2
    2×1.36026358306515-π/2
    2.7205271661303-1.57079632675     		φ = 1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26093221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2452 KachelY 2084 -1.26093221 1.14973084 -72.246094 65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 2453 KachelY 2084 -1.26016522 1.14973084 -72.202149 65.874725
    Unten links KachelX 2452 KachelY + 1 2085 -1.26093221 1.14941724 -72.246094 65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 2453 KachelY + 1 2085 -1.26016522 1.14941724 -72.202149 65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14973084-1.14941724) × R
    0.000313599999999914 × 6371000     		dl = 1997.94559999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14973084-1.14941724) × R
    0.000313599999999914 × 6371000     		dr = 1997.94559999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26093221--1.26016522) × cos(1.14973084) × R
    0.000766990000000023 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 1997.27157804474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26093221--1.26016522) × cos(1.14941724) × R
    0.000766990000000023 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 1998.67003465789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14973084)-sin(1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.409019293804828)×R²
    abs(-1.26016522--1.26093221)×0.000286188178342639×R²
    0.000766990000000023×0.000286188178342639×6371000²
    0.000766990000000023×0.000286188178342639×40589641000000     		ar = 3991837.01419376m²