Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24519 / 25281
↖ ↑ ↗
← S 69.415105°
E 89.373779°		 ← 429.52 m → S 69.415105°
E 89.384766°		 →
↑
429.47 m
↓
↑
429.47 m
↓
S 69.418968°
E 89.373779°		 ← 429.44 m →
184 450 m²		 S 69.418968°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748275756835938 y=0.771530151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748275756835938 × 215)
    floor (0.748275756835938 × 32768)
    floor (24519.5)     		tx = 24519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771530151367188 × 215)
    floor (0.771530151367188 × 32768)
    floor (25281.5)     		ty = 25281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24519 / 25281 ti = "15/24519/25281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24519/25281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24519 ÷ 215
    24519 ÷ 32768     		x = 0.748260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25281 ÷ 215
    25281 ÷ 32768     		y = 0.771514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748260498046875 × 2 - 1) × π
    0.49652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55986671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.54302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70597838367856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55986671} λ = 1.55986671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70597838367856))-π/2
    2×atan(0.181594630010566)-π/2
    2×0.179637093131538-π/2
    0.359274186263077-1.57079632675     		φ = -1.21152214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55986671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21152214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.415105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24519 KachelY 25281 1.55986671 -1.21152214 89.373779 -69.415105
    Oben rechts KachelX + 1 24520 KachelY 25281 1.56005846 -1.21152214 89.384766 -69.415105
    Unten links KachelX 24519 KachelY + 1 25282 1.55986671 -1.21158955 89.373779 -69.418968
    Unten rechts KachelX + 1 24520 KachelY + 1 25282 1.56005846 -1.21158955 89.384766 -69.418968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21152214--1.21158955) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dl = 429.469109999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21152214--1.21158955) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dr = 429.469109999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55986671-1.56005846) × cos(-1.21152214) × R
    0.000191749999999935 × 0.351594854271616 × 6371000     		do = 429.522074076091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55986671-1.56005846) × cos(-1.21158955) × R
    0.000191749999999935 × 0.351531747448811 × 6371000     		du = 429.44498030441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21152214)-sin(-1.21158955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351594854271616-0.351531747448811)×R²
    abs(1.56005846-1.55986671)×6.31068228050258e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31068228050258e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31068228050258e-05×40589641000000     		ar = 184449.90825181m²