Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24517 / 41173
↖ ↑ ↗
← S 41.857288°
W 45.324097°		 ← 454.97 m → S 41.857288°
W 45.318603°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
S 41.861379°
W 45.324097°		 ← 454.94 m →
206 982 m²		 S 41.861379°
W 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374107360839844 y=0.628257751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374107360839844 × 216)
    floor (0.374107360839844 × 65536)
    floor (24517.5)     		tx = 24517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628257751464844 × 216)
    floor (0.628257751464844 × 65536)
    floor (41173.5)     		ty = 41173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24517 / 41173 ti = "16/24517/41173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24517/41173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24517 ÷ 216
    24517 ÷ 65536     		x = 0.374099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41173 ÷ 216
    41173 ÷ 65536     		y = 0.628250122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.251800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79105472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.256500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805819282613144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79105472} λ = -0.79105472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805819282613144))-π/2
    2×atan(0.446721785201684)-π/2
    2×0.420124418259281-π/2
    0.840248836518563-1.57079632675     		φ = -0.73054749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79105472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.324097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73054749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.857288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24517 KachelY 41173 -0.79105472 -0.73054749 -45.324097 -41.857288
    Oben rechts KachelX + 1 24518 KachelY 41173 -0.79095884 -0.73054749 -45.318603 -41.857288
    Unten links KachelX 24517 KachelY + 1 41174 -0.79105472 -0.73061890 -45.324097 -41.861379
    Unten rechts KachelX + 1 24518 KachelY + 1 41174 -0.79095884 -0.73061890 -45.318603 -41.861379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73054749--0.73061890) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dl = 454.953109999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73054749--0.73061890) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dr = 454.953109999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79105472--0.79095884) × cos(-0.73054749) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744809186225382 × 6371000     		do = 454.967793723072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79105472--0.79095884) × cos(-0.73061890) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744761534039357 × 6371000     		du = 454.938685314713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73054749)-sin(-0.73061890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744809186225382-0.744761534039357)×R²
    abs(-0.79095884--0.79105472)×4.76521860248713e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76521860248713e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76521860248713e-05×40589641000000     		ar = 206982.391311723m²