Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24517 / 41163
↖ ↑ ↗
← S 41.816361°
W 45.324097°		 ← 455.26 m → S 41.816361°
W 45.318603°		 →
↑
455.27 m
↓
↑
455.27 m
↓
S 41.820455°
W 45.324097°		 ← 455.23 m →
207 260 m²		 S 41.820455°
W 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374107360839844 y=0.628105163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374107360839844 × 216)
    floor (0.374107360839844 × 65536)
    floor (24517.5)     		tx = 24517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628105163574219 × 216)
    floor (0.628105163574219 × 65536)
    floor (41163.5)     		ty = 41163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24517 / 41163 ti = "16/24517/41163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24517/41163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24517 ÷ 216
    24517 ÷ 65536     		x = 0.374099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41163 ÷ 216
    41163 ÷ 65536     		y = 0.628097534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.251800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79105472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.256195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.804860544620743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79105472} λ = -0.79105472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804860544620743))-π/2
    2×atan(0.447150279723357)-π/2
    2×0.420481570891797-π/2
    0.840963141783594-1.57079632675     		φ = -0.72983318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79105472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.324097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72983318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.816361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24517 KachelY 41163 -0.79105472 -0.72983318 -45.324097 -41.816361
    Oben rechts KachelX + 1 24518 KachelY 41163 -0.79095884 -0.72983318 -45.318603 -41.816361
    Unten links KachelX 24517 KachelY + 1 41164 -0.79105472 -0.72990464 -45.324097 -41.820455
    Unten rechts KachelX + 1 24518 KachelY + 1 41164 -0.79095884 -0.72990464 -45.318603 -41.820455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72983318--0.72990464) × R
    7.14600000000232e-05 × 6371000     		dl = 455.271660000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72983318--0.72990464) × R
    7.14600000000232e-05 × 6371000     		dr = 455.271660000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79105472--0.79095884) × cos(-0.72983318) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745285639168169 × 6371000     		do = 455.258835708324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79105472--0.79095884) × cos(-0.72990464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745237991645035 × 6371000     		du = 455.229730148299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72983318)-sin(-0.72990464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745285639168169-0.745237991645035)×R²
    abs(-0.79095884--0.79105472)×4.76475231339091e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76475231339091e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76475231339091e-05×40589641000000     		ar = 207259.820482445m²