Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24514 / 25667
↖ ↑ ↗
← S 70.855485°
E 89.318848°		 ← 400.62 m → S 70.855485°
E 89.329834°		 →
↑
400.61 m
↓
↑
400.61 m
↓
S 70.859087°
E 89.318848°		 ← 400.55 m →
160 476 m²		 S 70.859087°
E 89.329834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748123168945312 y=0.783309936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748123168945312 × 215)
    floor (0.748123168945312 × 32768)
    floor (24514.5)     		tx = 24514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783309936523438 × 215)
    floor (0.783309936523438 × 32768)
    floor (25667.5)     		ty = 25667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24514 / 25667 ti = "15/24514/25667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24514/25667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24514 ÷ 215
    24514 ÷ 32768     		x = 0.74810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25667 ÷ 215
    25667 ÷ 32768     		y = 0.783294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74810791015625 × 2 - 1) × π
    0.4962158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55890798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.56658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77999295669193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55890798} λ = 1.55890798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77999295669193))-π/2
    2×atan(0.168639335043203)-π/2
    2×0.167067414285336-π/2
    0.334134828570672-1.57079632675     		φ = -1.23666150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55890798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23666150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.855485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24514 KachelY 25667 1.55890798 -1.23666150 89.318848 -70.855485
    Oben rechts KachelX + 1 24515 KachelY 25667 1.55909972 -1.23666150 89.329834 -70.855485
    Unten links KachelX 24514 KachelY + 1 25668 1.55890798 -1.23672438 89.318848 -70.859087
    Unten rechts KachelX + 1 24515 KachelY + 1 25668 1.55909972 -1.23672438 89.329834 -70.859087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23666150--1.23672438) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dl = 400.60847999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23666150--1.23672438) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dr = 400.60847999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55890798-1.55909972) × cos(-1.23666150) × R
    0.000191739999999996 × 0.327951968435409 × 6371000     		do = 400.618102935539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55890798-1.55909972) × cos(-1.23672438) × R
    0.000191739999999996 × 0.327892565403332 × 6371000     		du = 400.545537644552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23666150)-sin(-1.23672438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327951968435409-0.327892565403332)×R²
    abs(1.55909972-1.55890798)×5.94030320770211e-05×R²
    0.000191739999999996×5.94030320770211e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.94030320770211e-05×40589641000000     		ar = 160476.474194398m²