Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24513 / 40989
↖ ↑ ↗
← S 41.100051°
W 45.346069°		 ← 460.27 m → S 41.100051°
W 45.340576°		 →
↑
460.30 m
↓
↑
460.30 m
↓
S 41.104191°
W 45.346069°		 ← 460.24 m →
211 856 m²		 S 41.104191°
W 45.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374046325683594 y=0.625450134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374046325683594 × 216)
    floor (0.374046325683594 × 65536)
    floor (24513.5)     		tx = 24513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625450134277344 × 216)
    floor (0.625450134277344 × 65536)
    floor (40989.5)     		ty = 40989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24513 / 40989 ti = "16/24513/40989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24513/40989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24513 ÷ 216
    24513 ÷ 65536     		x = 0.374038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40989 ÷ 216
    40989 ÷ 65536     		y = 0.625442504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374038696289062 × 2 - 1) × π
    -0.251922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79143821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625442504882812 × 2 - 1) × π
    -0.250885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788178503552963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79143821} λ = -0.79143821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788178503552963))-π/2
    2×atan(0.454672225316128)-π/2
    2×0.426732551556236-π/2
    0.853465103112471-1.57079632675     		φ = -0.71733122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79143821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71733122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.100051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24513 KachelY 40989 -0.79143821 -0.71733122 -45.346069 -41.100051
    Oben rechts KachelX + 1 24514 KachelY 40989 -0.79134234 -0.71733122 -45.340576 -41.100051
    Unten links KachelX 24513 KachelY + 1 40990 -0.79143821 -0.71740347 -45.346069 -41.104191
    Unten rechts KachelX + 1 24514 KachelY + 1 40990 -0.79134234 -0.71740347 -45.340576 -41.104191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71733122--0.71740347) × R
    7.22499999999959e-05 × 6371000     		dl = 460.304749999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71733122--0.71740347) × R
    7.22499999999959e-05 × 6371000     		dr = 460.304749999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79143821--0.79134234) × cos(-0.71733122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75356280235285 × 6371000     		do = 460.266943604038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79143821--0.79134234) × cos(-0.71740347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7535153049757 × 6371000     		du = 460.237932786968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71733122)-sin(-0.71740347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75356280235285-0.7535153049757)×R²
    abs(-0.79134234--0.79143821)×4.74973771502629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74973771502629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74973771502629e-05×40589641000000     		ar = 211856.383592653m²