Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24511 / 41244
↖ ↑ ↗
← S 42.147115°
W 45.357056°		 ← 452.85 m → S 42.147115°
W 45.351563°		 →
↑
452.85 m
↓
↑
452.85 m
↓
S 42.151187°
W 45.357056°		 ← 452.82 m →
205 068 m²		 S 42.151187°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374015808105469 y=0.629341125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374015808105469 × 216)
    floor (0.374015808105469 × 65536)
    floor (24511.5)     		tx = 24511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629341125488281 × 216)
    floor (0.629341125488281 × 65536)
    floor (41244.5)     		ty = 41244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24511 / 41244 ti = "16/24511/41244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24511/41244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24511 ÷ 216
    24511 ÷ 65536     		x = 0.374008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41244 ÷ 216
    41244 ÷ 65536     		y = 0.62933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.2586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812626322359192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79162996} λ = -0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812626322359192))-π/2
    2×atan(0.443691258414349)-π/2
    2×0.417595204641901-π/2
    0.835190409283802-1.57079632675     		φ = -0.73560592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73560592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.147115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24511 KachelY 41244 -0.79162996 -0.73560592 -45.357056 -42.147115
    Oben rechts KachelX + 1 24512 KachelY 41244 -0.79153409 -0.73560592 -45.351563 -42.147115
    Unten links KachelX 24511 KachelY + 1 41245 -0.79162996 -0.73567700 -45.357056 -42.151187
    Unten rechts KachelX + 1 24512 KachelY + 1 41245 -0.79153409 -0.73567700 -45.351563 -42.151187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73560592--0.73567700) × R
    7.10800000000011e-05 × 6371000     		dl = 452.850680000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73560592--0.73567700) × R
    7.10800000000011e-05 × 6371000     		dr = 452.850680000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79162996--0.79153409) × cos(-0.73560592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741424295080333 × 6371000     		do = 452.852891815929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79162996--0.79153409) × cos(-0.73567700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741376595931373 × 6371000     		du = 452.823757759105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73560592)-sin(-0.73567700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741424295080333-0.741376595931373)×R²
    abs(-0.79153409--0.79162996)×4.76991489599676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76991489599676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76991489599676e-05×40589641000000     		ar = 205068.14339641m²