Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24509 / 25305
↖ ↑ ↗
← S 69.507612°
E 89.263916°		 ← 427.68 m → S 69.507612°
E 89.274903°		 →
↑
427.62 m
↓
↑
427.62 m
↓
S 69.511457°
E 89.263916°		 ← 427.60 m →
182 867 m²		 S 69.511457°
E 89.274903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747970581054688 y=0.772262573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747970581054688 × 215)
    floor (0.747970581054688 × 32768)
    floor (24509.5)     		tx = 24509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772262573242188 × 215)
    floor (0.772262573242188 × 32768)
    floor (25305.5)     		ty = 25305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24509 / 25305 ti = "15/24509/25305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24509/25305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24509 ÷ 215
    24509 ÷ 32768     		x = 0.747955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25305 ÷ 215
    25305 ÷ 32768     		y = 0.772247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747955322265625 × 2 - 1) × π
    0.49591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55794924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55794924} λ = 1.55794924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71058032604208))-π/2
    2×atan(0.180760861937492)-π/2
    2×0.178829824011393-π/2
    0.357659648022787-1.57079632675     		φ = -1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55794924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24509 KachelY 25305 1.55794924 -1.21313668 89.263916 -69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 24510 KachelY 25305 1.55814099 -1.21313668 89.274903 -69.507612
    Unten links KachelX 24509 KachelY + 1 25306 1.55794924 -1.21320380 89.263916 -69.511457
    Unten rechts KachelX + 1 24510 KachelY + 1 25306 1.55814099 -1.21320380 89.274903 -69.511457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21313668--1.21320380) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dl = 427.621519999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21313668--1.21320380) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dr = 427.621519999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55794924-1.55814099) × cos(-1.21313668) × R
    0.000191750000000157 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 427.675061965782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55794924-1.55814099) × cos(-1.21320380) × R
    0.000191750000000157 × 0.350020068048437 × 6371000     		du = 427.598253415992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21313668)-sin(-1.21320380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350020068048437)×R²
    abs(1.55814099-1.55794924)×6.2873348076864e-05×R²
    0.000191750000000157×6.2873348076864e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.2873348076864e-05×40589641000000     		ar = 182866.63763782m²