Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24508 / 25598
↖ ↑ ↗
← S 70.605319°
E 89.252930°		 ← 405.67 m → S 70.605319°
E 89.263916°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
S 70.608967°
E 89.252930°		 ← 405.60 m →
164 518 m²		 S 70.608967°
E 89.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747940063476562 y=0.781204223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747940063476562 × 215)
    floor (0.747940063476562 × 32768)
    floor (24508.5)     		tx = 24508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781204223632812 × 215)
    floor (0.781204223632812 × 32768)
    floor (25598.5)     		ty = 25598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24508 / 25598 ti = "15/24508/25598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24508/25598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24508 ÷ 215
    24508 ÷ 32768     		x = 0.7479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25598 ÷ 215
    25598 ÷ 32768     		y = 0.78118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7479248046875 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55775749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.5623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76676237239679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55775749} λ = 1.55775749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76676237239679))-π/2
    2×atan(0.170885357310991)-π/2
    2×0.169250520252445-π/2
    0.33850104050489-1.57079632675     		φ = -1.23229529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55775749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23229529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.605319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24508 KachelY 25598 1.55775749 -1.23229529 89.252930 -70.605319
    Oben rechts KachelX + 1 24509 KachelY 25598 1.55794924 -1.23229529 89.263916 -70.605319
    Unten links KachelX 24508 KachelY + 1 25599 1.55775749 -1.23235895 89.252930 -70.608967
    Unten rechts KachelX + 1 24509 KachelY + 1 25599 1.55794924 -1.23235895 89.263916 -70.608967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23229529--1.23235895) × R
    6.36600000001319e-05 × 6371000     		dl = 405.577860000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23229529--1.23235895) × R
    6.36600000001319e-05 × 6371000     		dr = 405.577860000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55775749-1.55794924) × cos(-1.23229529) × R
    0.000191749999999935 × 0.332073563460497 × 6371000     		do = 405.674099010572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55775749-1.55794924) × cos(-1.23235895) × R
    0.000191749999999935 × 0.332013515270415 × 6371000     		du = 405.600741784676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23229529)-sin(-1.23235895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332073563460497-0.332013515270415)×R²
    abs(1.55794924-1.55775749)×6.0048190082207e-05×R²
    0.000191749999999935×6.0048190082207e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.0048190082207e-05×40589641000000     		ar = 164517.556956786m²