Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24507 / 25589
↖ ↑ ↗
← S 70.572458°
E 89.241943°		 ← 406.33 m → S 70.572458°
E 89.252930°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
S 70.576112°
E 89.241943°		 ← 406.26 m →
165 070 m²		 S 70.576112°
E 89.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747909545898438 y=0.780929565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747909545898438 × 215)
    floor (0.747909545898438 × 32768)
    floor (24507.5)     		tx = 24507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780929565429688 × 215)
    floor (0.780929565429688 × 32768)
    floor (25589.5)     		ty = 25589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24507 / 25589 ti = "15/24507/25589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24507/25589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24507 ÷ 215
    24507 ÷ 32768     		x = 0.747894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25589 ÷ 215
    25589 ÷ 32768     		y = 0.780914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747894287109375 × 2 - 1) × π
    0.49578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55756574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.56182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76503664401047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55756574} λ = 1.55756574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76503664401047))-π/2
    2×atan(0.171180513629477)-π/2
    2×0.169537287963989-π/2
    0.339074575927978-1.57079632675     		φ = -1.23172175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55756574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.241943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23172175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.572458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24507 KachelY 25589 1.55756574 -1.23172175 89.241943 -70.572458
    Oben rechts KachelX + 1 24508 KachelY 25589 1.55775749 -1.23172175 89.252930 -70.572458
    Unten links KachelX 24507 KachelY + 1 25590 1.55756574 -1.23178552 89.241943 -70.576112
    Unten rechts KachelX + 1 24508 KachelY + 1 25590 1.55775749 -1.23178552 89.252930 -70.576112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23172175--1.23178552) × R
    6.37700000001296e-05 × 6371000     		dl = 406.278670000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23172175--1.23178552) × R
    6.37700000001296e-05 × 6371000     		dr = 406.278670000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55756574-1.55775749) × cos(-1.23172175) × R
    0.000191749999999935 × 0.332614502420629 × 6371000     		do = 406.334931276122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55756574-1.55775749) × cos(-1.23178552) × R
    0.000191749999999935 × 0.332554362624601 × 6371000     		du = 406.261462140808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23172175)-sin(-1.23178552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332614502420629-0.332554362624601)×R²
    abs(1.55775749-1.55756574)×6.01397960277028e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01397960277028e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01397960277028e-05×40589641000000     		ar = 165070.291038919m²