Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24503 / 25319
↖ ↑ ↗
← S 69.561390°
E 89.197998°		 ← 426.60 m → S 69.561390°
E 89.208984°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
S 69.565226°
E 89.197998°		 ← 426.52 m →
181 972 m²		 S 69.565226°
E 89.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747787475585938 y=0.772689819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747787475585938 × 215)
    floor (0.747787475585938 × 32768)
    floor (24503.5)     		tx = 24503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772689819335938 × 215)
    floor (0.772689819335938 × 32768)
    floor (25319.5)     		ty = 25319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24503 / 25319 ti = "15/24503/25319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24503/25319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24503 ÷ 215
    24503 ÷ 32768     		x = 0.747772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25319 ÷ 215
    25319 ÷ 32768     		y = 0.772674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747772216796875 × 2 - 1) × π
    0.49554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55679875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.54534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55679875} λ = 1.55679875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71326479242081))-π/2
    2×atan(0.180276266212512)-π/2
    2×0.178360521434958-π/2
    0.356721042869916-1.57079632675     		φ = -1.21407528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55679875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21407528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.561390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24503 KachelY 25319 1.55679875 -1.21407528 89.197998 -69.561390
    Oben rechts KachelX + 1 24504 KachelY 25319 1.55699050 -1.21407528 89.208984 -69.561390
    Unten links KachelX 24503 KachelY + 1 25320 1.55679875 -1.21414224 89.197998 -69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 24504 KachelY + 1 25320 1.55699050 -1.21414224 89.208984 -69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21407528--1.21414224) × R
    6.69599999998383e-05 × 6371000     		dl = 426.60215999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21407528--1.21414224) × R
    6.69599999998383e-05 × 6371000     		dr = 426.60215999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55679875-1.55699050) × cos(-1.21407528) × R
    0.000191749999999935 × 0.349203583141902 × 6371000     		do = 426.600803406642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55679875-1.55699050) × cos(-1.21414224) × R
    0.000191749999999935 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 426.524151111975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21407528)-sin(-1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349203583141902-0.349140837699934)×R²
    abs(1.55699050-1.55679875)×6.2745441968326e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2745441968326e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2745441968326e-05×40589641000000     		ar = 181972.474241006m²