Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24500 / 25315
↖ ↑ ↗
← S 69.546038°
E 89.165039°		 ← 426.91 m → S 69.546038°
E 89.176026°		 →
↑
426.86 m
↓
↑
426.86 m
↓
S 69.549877°
E 89.165039°		 ← 426.83 m →
182 212 m²		 S 69.549877°
E 89.176026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747695922851562 y=0.772567749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747695922851562 × 215)
    floor (0.747695922851562 × 32768)
    floor (24500.5)     		tx = 24500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772567749023438 × 215)
    floor (0.772567749023438 × 32768)
    floor (25315.5)     		ty = 25315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24500 / 25315 ti = "15/24500/25315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24500/25315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24500 ÷ 215
    24500 ÷ 32768     		x = 0.7476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25315 ÷ 215
    25315 ÷ 32768     		y = 0.772552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    0.495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55622351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.54510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71249780202689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55622351} λ = 1.55622351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71249780202689))-π/2
    2×atan(0.180414589416452)-π/2
    2×0.178494487464167-π/2
    0.356988974928334-1.57079632675     		φ = -1.21380735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55622351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21380735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.546038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24500 KachelY 25315 1.55622351 -1.21380735 89.165039 -69.546038
    Oben rechts KachelX + 1 24501 KachelY 25315 1.55641526 -1.21380735 89.176026 -69.546038
    Unten links KachelX 24500 KachelY + 1 25316 1.55622351 -1.21387435 89.165039 -69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 24501 KachelY + 1 25316 1.55641526 -1.21387435 89.176026 -69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21380735--1.21387435) × R
    6.70000000000393e-05 × 6371000     		dl = 426.85700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21380735--1.21387435) × R
    6.70000000000393e-05 × 6371000     		dr = 426.85700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55622351-1.55641526) × cos(-1.21380735) × R
    0.000191750000000157 × 0.349454633575723 × 6371000     		do = 426.907496470821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55622351-1.55641526) × cos(-1.21387435) × R
    0.000191750000000157 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 426.830806045789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21380735)-sin(-1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349454633575723-0.349391856921296)×R²
    abs(1.55641526-1.55622351)×6.27766544275543e-05×R²
    0.000191750000000157×6.27766544275543e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.27766544275543e-05×40589641000000     		ar = 182212.085367073m²