Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 245 / 307
↖ ↑ ↗
← S 33.724340°
W  7.734375°		 ← 65.027 km → S 33.724340°
W  7.031250°		 →
↑
64.805 km
↓
↑
64.805 km
↓
S 34.307144°
W  7.734375°		 ← 64.582 km →
4 199.69 km²		 S 34.307144°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4794921875 y=0.6005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4794921875 × 29)
    floor (0.4794921875 × 512)
    floor (245.5)     		tx = 245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6005859375 × 29)
    floor (0.6005859375 × 512)
    floor (307.5)     		ty = 307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 245 / 307 ti = "9/245/307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/245/307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 245 ÷ 29
    245 ÷ 512     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 307 ÷ 29
    307 ÷ 512     		y = 0.599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599609375 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625864161439453))-π/2
    2×atan(0.534799076034804)-π/2
    2×0.491097780825684-π/2
    0.982195561651369-1.57079632675     		φ = -0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 245 KachelY 307 -0.13499031 -0.58860077 -7.734375 -33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 246 KachelY 307 -0.12271846 -0.58860077 -7.031250 -33.724340
    Unten links KachelX 245 KachelY + 1 308 -0.13499031 -0.59877262 -7.734375 -34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 246 KachelY + 1 308 -0.12271846 -0.59877262 -7.031250 -34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58860077--0.59877262) × R
    0.01017185 × 6371000     		dl = 64804.8563499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58860077--0.59877262) × R
    0.01017185 × 6371000     		dr = 64804.8563499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(-0.58860077) × R
    0.01227185 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 65027.0305819184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(-0.59877262) × R
    0.01227185 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 64582.1389681112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58860077)-sin(-0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.826028023946516)×R²
    abs(-0.12271846--0.13499031)×0.00569031850749002×R²
    0.01227185×0.00569031850749002×6371000²
    0.01227185×0.00569031850749002×40589641000000     		ar = 4199688017.82504m²