Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 245 / 151
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W  7.734375°		 ← 40.062 km → N 59.175928°
W  7.031250°		 →
↑
40.273 km
↓
↑
40.273 km
↓
N 58.813742°
W  7.734375°		 ← 40.485 km →
1 621.96 km²		 N 58.813742°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4794921875 y=0.2958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4794921875 × 29)
    floor (0.4794921875 × 512)
    floor (245.5)     		tx = 245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2958984375 × 29)
    floor (0.2958984375 × 512)
    floor (151.5)     		ty = 151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 245 / 151 ti = "9/245/151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/245/151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 245 ÷ 29
    245 ÷ 512     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 151 ÷ 29
    151 ÷ 512     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 245 KachelY 151 -0.13499031 1.03281479 -7.734375 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 246 KachelY 151 -0.12271846 1.03281479 -7.031250 59.175928
    Unten links KachelX 245 KachelY + 1 152 -0.13499031 1.02649344 -7.734375 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 246 KachelY + 1 152 -0.12271846 1.02649344 -7.031250 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.02649344) × R
    0.00632134999999989 × 6371000     		dl = 40273.3208499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.02649344) × R
    0.00632134999999989 × 6371000     		dr = 40273.3208499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(1.03281479) × R
    0.01227185 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 40061.7478943956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(1.02649344) × R
    0.01227185 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 40485.3604530136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.517821844059361)×R²
    abs(-0.12271846--0.13499031)×0.0054181519891584×R²
    0.01227185×0.0054181519891584×6371000²
    0.01227185×0.0054181519891584×40589641000000     		ar = 1621955170.04954m²