Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 245 / 122
↖ ↑ ↗
← N 68.138852°
W  7.734375°		 ← 29.112 km → N 68.138852°
W  7.031250°		 →
↑
29.279 km
↓
↑
29.279 km
↓
N 67.875541°
W  7.734375°		 ← 29.446 km →
857.256 km²		 N 67.875541°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4794921875 y=0.2392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4794921875 × 29)
    floor (0.4794921875 × 512)
    floor (245.5)     		tx = 245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2392578125 × 29)
    floor (0.2392578125 × 512)
    floor (122.5)     		ty = 122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 245 / 122 ti = "9/245/122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/245/122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 245 ÷ 29
    245 ÷ 512     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122 ÷ 29
    122 ÷ 512     		y = 0.23828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23828125 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64442740456641))-π/2
    2×atan(5.17804413350958)-π/2
    2×1.38002181829244-π/2
    2.76004363658488-1.57079632675     		φ = 1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 245 KachelY 122 -0.13499031 1.18924731 -7.734375 68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 246 KachelY 122 -0.12271846 1.18924731 -7.031250 68.138852
    Unten links KachelX 245 KachelY + 1 123 -0.13499031 1.18465168 -7.734375 67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 246 KachelY + 1 123 -0.12271846 1.18465168 -7.031250 67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18924731-1.18465168) × R
    0.00459563000000007 × 6371000     		dl = 29278.7587300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18924731-1.18465168) × R
    0.00459563000000007 × 6371000     		dr = 29278.7587300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(1.18924731) × R
    0.01227185 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 29112.4639123415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.12271846) × cos(1.18465168) × R
    0.01227185 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 29445.6218865391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18924731)-sin(1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.376619747339496)×R²
    abs(-0.12271846--0.13499031)×0.00426120638748728×R²
    0.01227185×0.00426120638748728×6371000²
    0.01227185×0.00426120638748728×40589641000000     		ar = 857255541.655083m²