Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24499 / 41074
↖ ↑ ↗
← S 41.450961°
W 45.422974°		 ← 457.85 m → S 41.450961°
W 45.417480°		 →
↑
457.82 m
↓
↑
457.82 m
↓
S 41.455078°
W 45.422974°		 ← 457.82 m →
209 605 m²		 S 41.455078°
W 45.417480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373832702636719 y=0.626747131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373832702636719 × 216)
    floor (0.373832702636719 × 65536)
    floor (24499.5)     		tx = 24499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626747131347656 × 216)
    floor (0.626747131347656 × 65536)
    floor (41074.5)     		ty = 41074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24499 / 41074 ti = "16/24499/41074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24499/41074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24499 ÷ 216
    24499 ÷ 65536     		x = 0.373825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41074 ÷ 216
    41074 ÷ 65536     		y = 0.626739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.252349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79278045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.25347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.796327776488373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79278045} λ = -0.79278045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796327776488373))-π/2
    2×atan(0.450982033866841)-π/2
    2×0.423670286121933-π/2
    0.847340572243866-1.57079632675     		φ = -0.72345575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79278045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.422974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72345575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.450961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24499 KachelY 41074 -0.79278045 -0.72345575 -45.422974 -41.450961
    Oben rechts KachelX + 1 24500 KachelY 41074 -0.79268457 -0.72345575 -45.417480 -41.450961
    Unten links KachelX 24499 KachelY + 1 41075 -0.79278045 -0.72352761 -45.422974 -41.455078
    Unten rechts KachelX + 1 24500 KachelY + 1 41075 -0.79268457 -0.72352761 -45.417480 -41.455078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72345575--0.72352761) × R
    7.18600000000347e-05 × 6371000     		dl = 457.820060000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72345575--0.72352761) × R
    7.18600000000347e-05 × 6371000     		dr = 457.820060000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79278045--0.79268457) × cos(-0.72345575) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749522575990363 × 6371000     		do = 457.846974836826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79278045--0.79268457) × cos(-0.72352761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749475004259901 × 6371000     		du = 457.817915574867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72345575)-sin(-0.72352761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749522575990363-0.749475004259901)×R²
    abs(-0.79268457--0.79278045)×4.75717304625478e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75717304625478e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75717304625478e-05×40589641000000     		ar = 209604.877624538m²