Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24498 / 40719
↖ ↑ ↗
← S 39.972911°
W 45.428467°		 ← 468.08 m → S 39.972911°
W 45.422974°		 →
↑
468.08 m
↓
↑
468.08 m
↓
S 39.977120°
W 45.428467°		 ← 468.05 m →
219 089 m²		 S 39.977120°
W 45.422974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373817443847656 y=0.621330261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373817443847656 × 216)
    floor (0.373817443847656 × 65536)
    floor (24498.5)     		tx = 24498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621330261230469 × 216)
    floor (0.621330261230469 × 65536)
    floor (40719.5)     		ty = 40719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24498 / 40719 ti = "16/24498/40719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24498/40719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24498 ÷ 216
    24498 ÷ 65536     		x = 0.373809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40719 ÷ 216
    40719 ÷ 65536     		y = 0.621322631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.25238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79287632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621322631835938 × 2 - 1) × π
    -0.242645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.762292577758133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79287632} λ = -0.79287632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762292577758133))-π/2
    2×atan(0.466595493429435)-π/2
    2×0.436568713042948-π/2
    0.873137426085896-1.57079632675     		φ = -0.69765890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79287632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69765890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.972911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24498 KachelY 40719 -0.79287632 -0.69765890 -45.428467 -39.972911
    Oben rechts KachelX + 1 24499 KachelY 40719 -0.79278045 -0.69765890 -45.422974 -39.972911
    Unten links KachelX 24498 KachelY + 1 40720 -0.79287632 -0.69773237 -45.428467 -39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 24499 KachelY + 1 40720 -0.79278045 -0.69773237 -45.422974 -39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69765890--0.69773237) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dl = 468.077370000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69765890--0.69773237) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dr = 468.077370000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79287632--0.79278045) × cos(-0.69765890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		do = 468.076149643634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79287632--0.79278045) × cos(-0.69773237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 468.047319814164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69765890)-sin(-0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766348267981274-0.766301066922434)×R²
    abs(-0.79278045--0.79287632)×4.72010588401517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72010588401517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72010588401517e-05×40589641000000     		ar = 219089.105888216m²