Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24497 / 25328
↖ ↑ ↗
← S 69.595890°
E 89.132080°		 ← 425.89 m → S 69.595890°
E 89.143066°		 →
↑
425.84 m
↓
↑
425.84 m
↓
S 69.599720°
E 89.132080°		 ← 425.81 m →
181 343 m²		 S 69.599720°
E 89.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747604370117188 y=0.772964477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747604370117188 × 215)
    floor (0.747604370117188 × 32768)
    floor (24497.5)     		tx = 24497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772964477539062 × 215)
    floor (0.772964477539062 × 32768)
    floor (25328.5)     		ty = 25328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24497 / 25328 ti = "15/24497/25328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24497/25328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24497 ÷ 215
    24497 ÷ 32768     		x = 0.747589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25328 ÷ 215
    25328 ÷ 32768     		y = 0.77294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747589111328125 × 2 - 1) × π
    0.49517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55564827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55564827} λ = 1.55564827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71499052080713))-π/2
    2×atan(0.179965426632016)-π/2
    2×0.178059449683757-π/2
    0.356118899367515-1.57079632675     		φ = -1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55564827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24497 KachelY 25328 1.55564827 -1.21467743 89.132080 -69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 24498 KachelY 25328 1.55584001 -1.21467743 89.143066 -69.595890
    Unten links KachelX 24497 KachelY + 1 25329 1.55564827 -1.21474427 89.132080 -69.599720
    Unten rechts KachelX + 1 24498 KachelY + 1 25329 1.55584001 -1.21474427 89.143066 -69.599720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21467743--1.21474427) × R
    6.68399999999014e-05 × 6371000     		dl = 425.837639999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21467743--1.21474427) × R
    6.68399999999014e-05 × 6371000     		dr = 425.837639999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21467743) × R
    0.000191739999999996 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 425.889213174679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21474427) × R
    0.000191739999999996 × 0.348576630053011 × 6371000     		du = 425.812685088378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21467743)-sin(-1.21474427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348576630053011)×R²
    abs(1.55584001-1.55564827)×6.2647035566521e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2647035566521e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2647035566521e-05×40589641000000     		ar = 181343.363237119m²