Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24497 / 25324
↖ ↑ ↗
← S 69.580564°
E 89.132080°		 ← 426.20 m → S 69.580564°
E 89.143066°		 →
↑
426.16 m
↓
↑
426.16 m
↓
S 69.584396°
E 89.132080°		 ← 426.12 m →
181 610 m²		 S 69.584396°
E 89.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747604370117188 y=0.772842407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747604370117188 × 215)
    floor (0.747604370117188 × 32768)
    floor (24497.5)     		tx = 24497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772842407226562 × 215)
    floor (0.772842407226562 × 32768)
    floor (25324.5)     		ty = 25324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24497 / 25324 ti = "15/24497/25324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24497/25324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24497 ÷ 215
    24497 ÷ 32768     		x = 0.747589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25324 ÷ 215
    25324 ÷ 32768     		y = 0.7728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747589111328125 × 2 - 1) × π
    0.49517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55564827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55564827} λ = 1.55564827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71422353041321))-π/2
    2×atan(0.180103511333531)-π/2
    2×0.178193199239641-π/2
    0.356386398479282-1.57079632675     		φ = -1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55564827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24497 KachelY 25324 1.55564827 -1.21440993 89.132080 -69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 24498 KachelY 25324 1.55584001 -1.21440993 89.143066 -69.580564
    Unten links KachelX 24497 KachelY + 1 25325 1.55564827 -1.21447682 89.132080 -69.584396
    Unten rechts KachelX + 1 24498 KachelY + 1 25325 1.55584001 -1.21447682 89.143066 -69.584396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21440993--1.21447682) × R
    6.68900000000416e-05 × 6371000     		dl = 426.156190000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21440993--1.21447682) × R
    6.68900000000416e-05 × 6371000     		dr = 426.156190000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21440993) × R
    0.000191739999999996 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 426.19546676378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21447682) × R
    0.000191739999999996 × 0.348827293195536 × 6371000     		du = 426.118889052066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21440993)-sin(-1.21447682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348827293195536)×R²
    abs(1.55584001-1.55564827)×6.26876596704906e-05×R²
    0.000191739999999996×6.26876596704906e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.26876596704906e-05×40589641000000     		ar = 181609.519346332m²