Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24497 / 25263
↖ ↑ ↗
← S 69.345464°
E 89.132080°		 ← 430.89 m → S 69.345464°
E 89.143066°		 →
↑
430.87 m
↓
↑
430.87 m
↓
S 69.349338°
E 89.132080°		 ← 430.81 m →
185 641 m²		 S 69.349338°
E 89.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747604370117188 y=0.770980834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747604370117188 × 215)
    floor (0.747604370117188 × 32768)
    floor (24497.5)     		tx = 24497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770980834960938 × 215)
    floor (0.770980834960938 × 32768)
    floor (25263.5)     		ty = 25263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24497 / 25263 ti = "15/24497/25263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24497/25263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24497 ÷ 215
    24497 ÷ 32768     		x = 0.747589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25263 ÷ 215
    25263 ÷ 32768     		y = 0.770965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747589111328125 × 2 - 1) × π
    0.49517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55564827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.54193115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70252692690591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55564827} λ = 1.55564827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70252692690591))-π/2
    2×atan(0.182222478899568)-π/2
    2×0.180244831501571-π/2
    0.360489663003143-1.57079632675     		φ = -1.21030666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55564827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21030666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.345464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24497 KachelY 25263 1.55564827 -1.21030666 89.132080 -69.345464
    Oben rechts KachelX + 1 24498 KachelY 25263 1.55584001 -1.21030666 89.143066 -69.345464
    Unten links KachelX 24497 KachelY + 1 25264 1.55564827 -1.21037429 89.132080 -69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 24498 KachelY + 1 25264 1.55584001 -1.21037429 89.143066 -69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21030666--1.21037429) × R
    6.76299999999852e-05 × 6371000     		dl = 430.870729999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21030666--1.21037429) × R
    6.76299999999852e-05 × 6371000     		dr = 430.870729999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21030666) × R
    0.000191739999999996 × 0.352732468621756 × 6371000     		do = 430.889355832145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55564827-1.55584001) × cos(-1.21037429) × R
    0.000191739999999996 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 430.812049846933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21030666)-sin(-1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352732468621756-0.352669184786511)×R²
    abs(1.55584001-1.55564827)×6.32838352444542e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32838352444542e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32838352444542e-05×40589641000000     		ar = 185640.956924357m²