Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24495 / 41237
↖ ↑ ↗
← S 42.118598°
W 45.444946°		 ← 453.06 m → S 42.118598°
W 45.439453°		 →
↑
453.11 m
↓
↑
453.11 m
↓
S 42.122673°
W 45.444946°		 ← 453.03 m →
205 276 m²		 S 42.122673°
W 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373771667480469 y=0.629234313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373771667480469 × 216)
    floor (0.373771667480469 × 65536)
    floor (24495.5)     		tx = 24495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629234313964844 × 216)
    floor (0.629234313964844 × 65536)
    floor (41237.5)     		ty = 41237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24495 / 41237 ti = "16/24495/41237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24495/41237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24495 ÷ 216
    24495 ÷ 65536     		x = 0.373764038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41237 ÷ 216
    41237 ÷ 65536     		y = 0.629226684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.252471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79316394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.258453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.811955205764511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79316394} λ = -0.79316394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811955205764511))-π/2
    2×atan(0.443989126921855)-π/2
    2×0.417844051735416-π/2
    0.835688103470831-1.57079632675     		φ = -0.73510822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79316394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.444946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73510822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.118598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24495 KachelY 41237 -0.79316394 -0.73510822 -45.444946 -42.118598
    Oben rechts KachelX + 1 24496 KachelY 41237 -0.79306807 -0.73510822 -45.439453 -42.118598
    Unten links KachelX 24495 KachelY + 1 41238 -0.79316394 -0.73517934 -45.444946 -42.122673
    Unten rechts KachelX + 1 24496 KachelY + 1 41238 -0.79306807 -0.73517934 -45.439453 -42.122673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73510822--0.73517934) × R
    7.11199999999801e-05 × 6371000     		dl = 453.105519999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73510822--0.73517934) × R
    7.11199999999801e-05 × 6371000     		dr = 453.105519999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79316394--0.79306807) × cos(-0.73510822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741758178116486 × 6371000     		do = 453.056823491021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79316394--0.79306807) × cos(-0.73517934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741710478372791 × 6371000     		du = 453.02768907094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73510822)-sin(-0.73517934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741758178116486-0.741710478372791)×R²
    abs(-0.79306807--0.79316394)×4.76997436953397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76997436953397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76997436953397e-05×40589641000000     		ar = 205275.947200626m²