Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24495 / 25329
↖ ↑ ↗
← S 69.599720°
E 89.110107°		 ← 425.83 m → S 69.599720°
E 89.121094°		 →
↑
425.77 m
↓
↑
425.77 m
↓
S 69.603549°
E 89.110107°		 ← 425.76 m →
181 293 m²		 S 69.603549°
E 89.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747543334960938 y=0.772994995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747543334960938 × 215)
    floor (0.747543334960938 × 32768)
    floor (24495.5)     		tx = 24495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772994995117188 × 215)
    floor (0.772994995117188 × 32768)
    floor (25329.5)     		ty = 25329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24495 / 25329 ti = "15/24495/25329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24495/25329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24495 ÷ 215
    24495 ÷ 32768     		x = 0.747528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25329 ÷ 215
    25329 ÷ 32768     		y = 0.772979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747528076171875 × 2 - 1) × π
    0.49505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55526477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.54595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71518226840561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55526477} λ = 1.55526477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71518226840561))-π/2
    2×atan(0.179930922001846)-π/2
    2×0.178026027314862-π/2
    0.356052054629725-1.57079632675     		φ = -1.21474427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55526477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21474427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.599720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24495 KachelY 25329 1.55526477 -1.21474427 89.110107 -69.599720
    Oben rechts KachelX + 1 24496 KachelY 25329 1.55545652 -1.21474427 89.121094 -69.599720
    Unten links KachelX 24495 KachelY + 1 25330 1.55526477 -1.21481110 89.110107 -69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 24496 KachelY + 1 25330 1.55545652 -1.21481110 89.121094 -69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21474427--1.21481110) × R
    6.68299999999622e-05 × 6371000     		dl = 425.773929999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21474427--1.21481110) × R
    6.68299999999622e-05 × 6371000     		dr = 425.773929999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55526477-1.55545652) × cos(-1.21474427) × R
    0.000191749999999935 × 0.348576630053011 × 6371000     		do = 425.834892905343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55526477-1.55545652) × cos(-1.21481110) × R
    0.000191749999999935 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 425.758370375814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21474427)-sin(-1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348576630053011-0.348513990833184)×R²
    abs(1.55545652-1.55526477)×6.26392198266879e-05×R²
    0.000191749999999935×6.26392198266879e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.26392198266879e-05×40589641000000     		ar = 181293.105301789m²