Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24495 / 25267
↖ ↑ ↗
← S 69.360959°
E 89.110107°		 ← 430.60 m → S 69.360959°
E 89.121094°		 →
↑
430.55 m
↓
↑
430.55 m
↓
S 69.364831°
E 89.110107°		 ← 430.53 m →
185 380 m²		 S 69.364831°
E 89.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747543334960938 y=0.771102905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747543334960938 × 215)
    floor (0.747543334960938 × 32768)
    floor (24495.5)     		tx = 24495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771102905273438 × 215)
    floor (0.771102905273438 × 32768)
    floor (25267.5)     		ty = 25267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24495 / 25267 ti = "15/24495/25267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24495/25267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24495 ÷ 215
    24495 ÷ 32768     		x = 0.747528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25267 ÷ 215
    25267 ÷ 32768     		y = 0.771087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747528076171875 × 2 - 1) × π
    0.49505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55526477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.54217529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70329391729984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55526477} λ = 1.55526477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70329391729984))-π/2
    2×atan(0.182082769593392)-π/2
    2×0.180109608826938-π/2
    0.360219217653876-1.57079632675     		φ = -1.21057711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55526477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21057711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.360959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24495 KachelY 25267 1.55526477 -1.21057711 89.110107 -69.360959
    Oben rechts KachelX + 1 24496 KachelY 25267 1.55545652 -1.21057711 89.121094 -69.360959
    Unten links KachelX 24495 KachelY + 1 25268 1.55526477 -1.21064469 89.110107 -69.364831
    Unten rechts KachelX + 1 24496 KachelY + 1 25268 1.55545652 -1.21064469 89.121094 -69.364831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21057711--1.21064469) × R
    6.7580000000067e-05 × 6371000     		dl = 430.552180000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21057711--1.21064469) × R
    6.7580000000067e-05 × 6371000     		dr = 430.552180000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55526477-1.55545652) × cos(-1.21057711) × R
    0.000191749999999935 × 0.352479389111042 × 6371000     		do = 430.602656553925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55526477-1.55545652) × cos(-1.21064469) × R
    0.000191749999999935 × 0.352416145619195 × 6371000     		du = 430.525395821979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21057711)-sin(-1.21064469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352479389111042-0.352416145619195)×R²
    abs(1.55545652-1.55526477)×6.32434918461655e-05×R²
    0.000191749999999935×6.32434918461655e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.32434918461655e-05×40589641000000     		ar = 185380.280175851m²