Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24493 / 25331
↖ ↑ ↗
← S 69.607378°
E 89.088135°		 ← 425.66 m → S 69.607378°
E 89.099121°		 →
↑
425.58 m
↓
↑
425.58 m
↓
S 69.611205°
E 89.088135°		 ← 425.58 m →
181 137 m²		 S 69.611205°
E 89.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747482299804688 y=0.773056030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747482299804688 × 215)
    floor (0.747482299804688 × 32768)
    floor (24493.5)     		tx = 24493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773056030273438 × 215)
    floor (0.773056030273438 × 32768)
    floor (25331.5)     		ty = 25331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24493 / 25331 ti = "15/24493/25331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24493/25331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24493 ÷ 215
    24493 ÷ 32768     		x = 0.747467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25331 ÷ 215
    25331 ÷ 32768     		y = 0.773040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747467041015625 × 2 - 1) × π
    0.49493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55488128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71556576360257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55488128} λ = 1.55488128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71556576360257))-π/2
    2×atan(0.179861932586873)-π/2
    2×0.177959200594652-π/2
    0.355918401189305-1.57079632675     		φ = -1.21487793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55488128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21487793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.607378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24493 KachelY 25331 1.55488128 -1.21487793 89.088135 -69.607378
    Oben rechts KachelX + 1 24494 KachelY 25331 1.55507302 -1.21487793 89.099121 -69.607378
    Unten links KachelX 24493 KachelY + 1 25332 1.55488128 -1.21494473 89.088135 -69.611205
    Unten rechts KachelX + 1 24494 KachelY + 1 25332 1.55507302 -1.21494473 89.099121 -69.611205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21487793--1.21494473) × R
    6.67999999999225e-05 × 6371000     		dl = 425.582799999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21487793--1.21494473) × R
    6.67999999999225e-05 × 6371000     		dr = 425.582799999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55488128-1.55507302) × cos(-1.21487793) × R
    0.000191739999999996 × 0.348451350056807 × 6371000     		do = 425.659646109364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55488128-1.55507302) × cos(-1.21494473) × R
    0.000191739999999996 × 0.348388735844664 × 6371000     		du = 425.583158119354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21487793)-sin(-1.21494473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348451350056807-0.348388735844664)×R²
    abs(1.55507302-1.55488128)×6.26142121429307e-05×R²
    0.000191739999999996×6.26142121429307e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.26142121429307e-05×40589641000000     		ar = 181137.148119721m²