Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24492 / 25372
↖ ↑ ↗
← S 69.763757°
E 89.077149°		 ← 422.55 m → S 69.763757°
E 89.088135°		 →
↑
422.46 m
↓
↑
422.46 m
↓
S 69.767556°
E 89.077149°		 ← 422.48 m →
178 497 m²		 S 69.767556°
E 89.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747451782226562 y=0.774307250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747451782226562 × 215)
    floor (0.747451782226562 × 32768)
    floor (24492.5)     		tx = 24492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774307250976562 × 215)
    floor (0.774307250976562 × 32768)
    floor (25372.5)     		ty = 25372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24492 / 25372 ti = "15/24492/25372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24492/25372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24492 ÷ 215
    24492 ÷ 32768     		x = 0.7474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25372 ÷ 215
    25372 ÷ 32768     		y = 0.7742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    0.494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55468953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72342741514026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55468953} λ = 1.55468953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72342741514026))-π/2
    2×atan(0.178453464445103)-π/2
    2×0.176594534979002-π/2
    0.353189069958005-1.57079632675     		φ = -1.21760726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55468953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21760726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.763757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24492 KachelY 25372 1.55468953 -1.21760726 89.077149 -69.763757
    Oben rechts KachelX + 1 24493 KachelY 25372 1.55488128 -1.21760726 89.088135 -69.763757
    Unten links KachelX 24492 KachelY + 1 25373 1.55468953 -1.21767357 89.077149 -69.767556
    Unten rechts KachelX + 1 24493 KachelY + 1 25373 1.55488128 -1.21767357 89.088135 -69.767556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21760726--1.21767357) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dl = 422.461010000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21760726--1.21767357) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dr = 422.461010000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55468953-1.55488128) × cos(-1.21760726) × R
    0.000191749999999935 × 0.345891781045125 × 6371000     		do = 422.554975976987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55468953-1.55488128) × cos(-1.21767357) × R
    0.000191749999999935 × 0.345829563308338 × 6371000     		du = 422.478968347682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21760726)-sin(-1.21767357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345891781045125-0.345829563308338)×R²
    abs(1.55488128-1.55468953)×6.22177367869403e-05×R²
    0.000191749999999935×6.22177367869403e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.22177367869403e-05×40589641000000     		ar = 178496.946867509m²