Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2449 / 1884
↖ ↑ ↗
← N 14.264383°
E 35.244141°		 ← 9 471.68 m → N 14.264383°
E 35.332031°		 →
↑
9 473.49 m
↓
↑
9 473.49 m
↓
N 14.179186°
E 35.244141°		 ← 9 475.25 m →
89 746 721 m²		 N 14.179186°
E 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5980224609375 y=0.4600830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5980224609375 × 212)
    floor (0.5980224609375 × 4096)
    floor (2449.5)     		tx = 2449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4600830078125 × 212)
    floor (0.4600830078125 × 4096)
    floor (1884.5)     		ty = 1884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2449 / 1884 ti = "12/2449/1884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2449/1884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2449 ÷ 212
    2449 ÷ 4096     		x = 0.597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1884 ÷ 212
    1884 ÷ 4096     		y = 0.4599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597900390625 × 2 - 1) × π
    0.19580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61512630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    0.080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.251572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61512630} λ = 0.61512630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.251572849206055))-π/2
    2×atan(1.28604658412406)-π/2
    2×0.909878388715845-π/2
    1.81975677743169-1.57079632675     		φ = 0.24896045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61512630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24896045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.264383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2449 KachelY 1884 0.61512630 0.24896045 35.244141 14.264383
    Oben rechts KachelX + 1 2450 KachelY 1884 0.61666028 0.24896045 35.332031 14.264383
    Unten links KachelX 2449 KachelY + 1 1885 0.61512630 0.24747348 35.244141 14.179186
    Unten rechts KachelX + 1 2450 KachelY + 1 1885 0.61666028 0.24747348 35.332031 14.179186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24896045-0.24747348) × R
    0.00148697 × 6371000     		dl = 9473.48587000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24896045-0.24747348) × R
    0.00148697 × 6371000     		dr = 9473.48587000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61512630-0.61666028) × cos(0.24896045) × R
    0.00153397999999993 × 0.969169086915728 × 6371000     		do = 9471.67648017786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61512630-0.61666028) × cos(0.24747348) × R
    0.00153397999999993 × 0.969534399667488 × 6371000     		du = 9475.24667679832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24896045)-sin(0.24747348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969169086915728-0.969534399667488)×R²
    abs(0.61666028-0.61512630)×0.000365312751760438×R²
    0.00153397999999993×0.000365312751760438×6371000²
    0.00153397999999993×0.000365312751760438×40589641000000     		ar = 89746720.9402251m²