Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2449 / 1883
↖ ↑ ↗
← N 14.349548°
E 35.244141°		 ← 9 468.09 m → N 14.349548°
E 35.332031°		 →
↑
9 469.92 m
↓
↑
9 469.92 m
↓
N 14.264383°
E 35.244141°		 ← 9 471.68 m →
89 679 020 m²		 N 14.264383°
E 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5980224609375 y=0.4598388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5980224609375 × 212)
    floor (0.5980224609375 × 4096)
    floor (2449.5)     		tx = 2449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4598388671875 × 212)
    floor (0.4598388671875 × 4096)
    floor (1883.5)     		ty = 1883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2449 / 1883 ti = "12/2449/1883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2449/1883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2449 ÷ 212
    2449 ÷ 4096     		x = 0.597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1883 ÷ 212
    1883 ÷ 4096     		y = 0.459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597900390625 × 2 - 1) × π
    0.19580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61512630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    0.08056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61512630} λ = 0.61512630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253106829993896))-π/2
    2×atan(1.28802086874657)-π/2
    2×0.910621591359602-π/2
    1.8212431827192-1.57079632675     		φ = 0.25044686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61512630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25044686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.349548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2449 KachelY 1883 0.61512630 0.25044686 35.244141 14.349548
    Oben rechts KachelX + 1 2450 KachelY 1883 0.61666028 0.25044686 35.332031 14.349548
    Unten links KachelX 2449 KachelY + 1 1884 0.61512630 0.24896045 35.244141 14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 2450 KachelY + 1 1884 0.61666028 0.24896045 35.332031 14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25044686-0.24896045) × R
    0.00148640999999999 × 6371000     		dl = 9469.91810999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25044686-0.24896045) × R
    0.00148640999999999 × 6371000     		dr = 9469.91810999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61512630-0.61666028) × cos(0.25044686) × R
    0.00153397999999993 × 0.968801770043007 × 6371000     		do = 9468.08669731015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61512630-0.61666028) × cos(0.24896045) × R
    0.00153397999999993 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 9471.67648017786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25044686)-sin(0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968801770043007-0.969169086915728)×R²
    abs(0.61666028-0.61512630)×0.000367316872720513×R²
    0.00153397999999993×0.000367316872720513×6371000²
    0.00153397999999993×0.000367316872720513×40589641000000     		ar = 89679019.6683156m²