Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24489 / 41228
↖ ↑ ↗
← S 42.081917°
W 45.477905°		 ← 453.32 m → S 42.081917°
W 45.472412°		 →
↑
453.36 m
↓
↑
453.36 m
↓
S 42.085994°
W 45.477905°		 ← 453.29 m →
205 510 m²		 S 42.085994°
W 45.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373680114746094 y=0.629096984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373680114746094 × 216)
    floor (0.373680114746094 × 65536)
    floor (24489.5)     		tx = 24489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629096984863281 × 216)
    floor (0.629096984863281 × 65536)
    floor (41228.5)     		ty = 41228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24489 / 41228 ti = "16/24489/41228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24489/41228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24489 ÷ 216
    24489 ÷ 65536     		x = 0.373672485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41228 ÷ 216
    41228 ÷ 65536     		y = 0.62908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373672485351562 × 2 - 1) × π
    -0.252655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79373918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.2581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81109234157135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79373918} λ = -0.79373918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81109234157135))-π/2
    2×atan(0.444372394571815)-π/2
    2×0.418164162612871-π/2
    0.836328325225742-1.57079632675     		φ = -0.73446800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79373918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.477905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73446800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.081917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24489 KachelY 41228 -0.79373918 -0.73446800 -45.477905 -42.081917
    Oben rechts KachelX + 1 24490 KachelY 41228 -0.79364331 -0.73446800 -45.472412 -42.081917
    Unten links KachelX 24489 KachelY + 1 41229 -0.79373918 -0.73453916 -45.477905 -42.085994
    Unten rechts KachelX + 1 24490 KachelY + 1 41229 -0.79364331 -0.73453916 -45.472412 -42.085994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73446800--0.73453916) × R
    7.1159999999959e-05 × 6371000     		dl = 453.360359999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73446800--0.73453916) × R
    7.1159999999959e-05 × 6371000     		dr = 453.360359999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79373918--0.79364331) × cos(-0.73446800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742187400774348 × 6371000     		do = 453.31898744105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79373918--0.79364331) × cos(-0.73453916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742139708003597 × 6371000     		du = 453.289857279958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73446800)-sin(-0.73453916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742187400774348-0.742139708003597)×R²
    abs(-0.79364331--0.79373918)×4.76927707516728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76927707516728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76927707516728e-05×40589641000000     		ar = 205510.256197612m²