Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24488 / 41112
↖ ↑ ↗
← S 41.607228°
W 45.483399°		 ← 456.74 m → S 41.607228°
W 45.477905°		 →
↑
456.74 m
↓
↑
456.74 m
↓
S 41.611335°
W 45.483399°		 ← 456.71 m →
208 605 m²		 S 41.611335°
W 45.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373664855957031 y=0.627326965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373664855957031 × 216)
    floor (0.373664855957031 × 65536)
    floor (24488.5)     		tx = 24488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627326965332031 × 216)
    floor (0.627326965332031 × 65536)
    floor (41112.5)     		ty = 41112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24488 / 41112 ti = "16/24488/41112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24488/41112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24488 ÷ 216
    24488 ÷ 65536     		x = 0.3736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41112 ÷ 216
    41112 ÷ 65536     		y = 0.6273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79383506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799970980859497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79383506} λ = -0.79383506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799970980859497))-π/2
    2×atan(0.449342003446757)-π/2
    2×0.422306600935701-π/2
    0.844613201871403-1.57079632675     		φ = -0.72618312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79383506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.483399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72618312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.607228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24488 KachelY 41112 -0.79383506 -0.72618312 -45.483399 -41.607228
    Oben rechts KachelX + 1 24489 KachelY 41112 -0.79373918 -0.72618312 -45.477905 -41.607228
    Unten links KachelX 24488 KachelY + 1 41113 -0.79383506 -0.72625481 -45.483399 -41.611335
    Unten rechts KachelX + 1 24489 KachelY + 1 41113 -0.79373918 -0.72625481 -45.477905 -41.611335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72618312--0.72625481) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dl = 456.736990000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72618312--0.72625481) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dr = 456.736990000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79383506--0.79373918) × cos(-0.72618312) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747714329479723 × 6371000     		do = 456.742404780126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79383506--0.79373918) × cos(-0.72625481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747666723925615 × 6371000     		du = 456.713324856943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72618312)-sin(-0.72625481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747714329479723-0.747666723925615)×R²
    abs(-0.79373918--0.79383506)×4.76055541075437e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76055541075437e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76055541075437e-05×40589641000000     		ar = 208604.510315656m²