Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24488 / 25254
↖ ↑ ↗
← S 69.310558°
E 89.033203°		 ← 431.61 m → S 69.310558°
E 89.044190°		 →
↑
431.57 m
↓
↑
431.57 m
↓
S 69.314440°
E 89.033203°		 ← 431.53 m →
186 253 m²		 S 69.314440°
E 89.044190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747329711914062 y=0.770706176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747329711914062 × 215)
    floor (0.747329711914062 × 32768)
    floor (24488.5)     		tx = 24488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770706176757812 × 215)
    floor (0.770706176757812 × 32768)
    floor (25254.5)     		ty = 25254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24488 / 25254 ti = "15/24488/25254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24488/25254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24488 ÷ 215
    24488 ÷ 32768     		x = 0.747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25254 ÷ 215
    25254 ÷ 32768     		y = 0.77069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747314453125 × 2 - 1) × π
    0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.5413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70080119851959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55392254} λ = 1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70080119851959))-π/2
    2×atan(0.182537216902072)-π/2
    2×0.180549437570268-π/2
    0.361098875140537-1.57079632675     		φ = -1.20969745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20969745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.310558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24488 KachelY 25254 1.55392254 -1.20969745 89.033203 -69.310558
    Oben rechts KachelX + 1 24489 KachelY 25254 1.55411429 -1.20969745 89.044190 -69.310558
    Unten links KachelX 24488 KachelY + 1 25255 1.55392254 -1.20976519 89.033203 -69.314440
    Unten rechts KachelX + 1 24489 KachelY + 1 25255 1.55411429 -1.20976519 89.044190 -69.314440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20969745--1.20976519) × R
    6.77399999999828e-05 × 6371000     		dl = 431.57153999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20969745--1.20976519) × R
    6.77399999999828e-05 × 6371000     		dr = 431.57153999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55392254-1.55411429) × cos(-1.20969745) × R
    0.000191749999999935 × 0.353302455679201 × 6371000     		do = 431.608146978951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55392254-1.55411429) × cos(-1.20976519) × R
    0.000191749999999935 × 0.353239083478644 × 6371000     		du = 431.530729011392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20969745)-sin(-1.20976519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353302455679201-0.353239083478644)×R²
    abs(1.55411429-1.55392254)×6.33722005571324e-05×R²
    0.000191749999999935×6.33722005571324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.33722005571324e-05×40589641000000     		ar = 186253.087043432m²