Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24487 / 40694
↖ ↑ ↗
← S 39.867588°
W 45.488892°		 ← 468.80 m → S 39.867588°
W 45.483399°		 →
↑
468.78 m
↓
↑
468.78 m
↓
S 39.871804°
W 45.488892°		 ← 468.77 m →
219 755 m²		 S 39.871804°
W 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373649597167969 y=0.620948791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373649597167969 × 216)
    floor (0.373649597167969 × 65536)
    floor (24487.5)     		tx = 24487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620948791503906 × 216)
    floor (0.620948791503906 × 65536)
    floor (40694.5)     		ty = 40694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24487 / 40694 ti = "16/24487/40694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24487/40694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24487 ÷ 216
    24487 ÷ 65536     		x = 0.373641967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40694 ÷ 216
    40694 ÷ 65536     		y = 0.620941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373641967773438 × 2 - 1) × π
    -0.252716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79393093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.24188232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75989573277713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79393093} λ = -0.79393093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75989573277713))-π/2
    2×atan(0.467715191831725)-π/2
    2×0.43748782896826-π/2
    0.874975657936519-1.57079632675     		φ = -0.69582067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79393093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.488892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69582067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.867588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24487 KachelY 40694 -0.79393093 -0.69582067 -45.488892 -39.867588
    Oben rechts KachelX + 1 24488 KachelY 40694 -0.79383506 -0.69582067 -45.483399 -39.867588
    Unten links KachelX 24487 KachelY + 1 40695 -0.79393093 -0.69589425 -45.488892 -39.871804
    Unten rechts KachelX + 1 24488 KachelY + 1 40695 -0.79383506 -0.69589425 -45.483399 -39.871804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69582067--0.69589425) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dl = 468.778180000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69582067--0.69589425) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dr = 468.778180000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79393093--0.79383506) × cos(-0.69582067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76752789809062 × 6371000     		do = 468.796653287547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79393093--0.79383506) × cos(-0.69589425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767480730089345 × 6371000     		du = 468.767843649233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69582067)-sin(-0.69589425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76752789809062-0.767480730089345)×R²
    abs(-0.79383506--0.79393093)×4.71680012746889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71680012746889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71680012746889e-05×40589641000000     		ar = 219754.889352607m²