Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24485 / 41230
↖ ↑ ↗
← S 42.090070°
W 45.499878°		 ← 453.26 m → S 42.090070°
W 45.494385°		 →
↑
453.23 m
↓
↑
453.23 m
↓
S 42.094146°
W 45.499878°		 ← 453.23 m →
205 426 m²		 S 42.094146°
W 45.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373619079589844 y=0.629127502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373619079589844 × 216)
    floor (0.373619079589844 × 65536)
    floor (24485.5)     		tx = 24485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629127502441406 × 216)
    floor (0.629127502441406 × 65536)
    floor (41230.5)     		ty = 41230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24485 / 41230 ti = "16/24485/41230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24485/41230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24485 ÷ 216
    24485 ÷ 65536     		x = 0.373611450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41230 ÷ 216
    41230 ÷ 65536     		y = 0.629119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373611450195312 × 2 - 1) × π
    -0.252777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79412268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.25823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81128408916983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79412268} λ = -0.79412268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81128408916983))-π/2
    2×atan(0.444287195400954)-π/2
    2×0.418093010859227-π/2
    0.836186021718453-1.57079632675     		φ = -0.73461031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79412268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.499878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73461031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.090070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24485 KachelY 41230 -0.79412268 -0.73461031 -45.499878 -42.090070
    Oben rechts KachelX + 1 24486 KachelY 41230 -0.79402681 -0.73461031 -45.494385 -42.090070
    Unten links KachelX 24485 KachelY + 1 41231 -0.79412268 -0.73468145 -45.499878 -42.094146
    Unten rechts KachelX + 1 24486 KachelY + 1 41231 -0.79402681 -0.73468145 -45.494385 -42.094146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73461031--0.73468145) × R
    7.11399999999696e-05 × 6371000     		dl = 453.232939999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73461031--0.73468145) × R
    7.11399999999696e-05 × 6371000     		dr = 453.232939999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79412268--0.79402681) × cos(-0.73461031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742092018177818 × 6371000     		do = 453.260728917619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79412268--0.79402681) × cos(-0.73468145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742044331298839 × 6371000     		du = 453.231602355149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73461031)-sin(-0.73468145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742092018177818-0.742044331298839)×R²
    abs(-0.79402681--0.79412268)×4.76868789790474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76868789790474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76868789790474e-05×40589641000000     		ar = 205426.092282011m²