Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24485 / 25272
↖ ↑ ↗
← S 69.380313°
E 89.000244°		 ← 430.19 m → S 69.380313°
E 89.011230°		 →
↑
430.17 m
↓
↑
430.17 m
↓
S 69.384181°
E 89.000244°		 ← 430.12 m →
185 040 m²		 S 69.384181°
E 89.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747238159179688 y=0.771255493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747238159179688 × 215)
    floor (0.747238159179688 × 32768)
    floor (24485.5)     		tx = 24485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771255493164062 × 215)
    floor (0.771255493164062 × 32768)
    floor (25272.5)     		ty = 25272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24485 / 25272 ti = "15/24485/25272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24485/25272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24485 ÷ 215
    24485 ÷ 32768     		x = 0.747222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25272 ÷ 215
    25272 ÷ 32768     		y = 0.771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747222900390625 × 2 - 1) × π
    0.49444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55334730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55334730} λ = 1.55334730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70425265529224))-π/2
    2×atan(0.181908283580972)-π/2
    2×0.179940716915556-π/2
    0.359881433831112-1.57079632675     		φ = -1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55334730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24485 KachelY 25272 1.55334730 -1.21091489 89.000244 -69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 24486 KachelY 25272 1.55353904 -1.21091489 89.011230 -69.380313
    Unten links KachelX 24485 KachelY + 1 25273 1.55334730 -1.21098241 89.000244 -69.384181
    Unten rechts KachelX + 1 24486 KachelY + 1 25273 1.55353904 -1.21098241 89.011230 -69.384181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21091489--1.21098241) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dl = 430.169919999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21091489--1.21098241) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dr = 430.169919999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55334730-1.55353904) × cos(-1.21091489) × R
    0.000191739999999996 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 430.194034119246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55334730-1.55353904) × cos(-1.21098241) × R
    0.000191739999999996 × 0.352100072496406 × 6371000     		du = 430.116836193827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21091489)-sin(-1.21098241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.352100072496406)×R²
    abs(1.55353904-1.55334730)×6.3195375881786e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3195375881786e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3195375881786e-05×40589641000000     		ar = 185039.929198782m²