Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24484 / 40698
↖ ↑ ↗
← S 39.884450°
W 45.505371°		 ← 468.68 m → S 39.884450°
W 45.499878°		 →
↑
468.65 m
↓
↑
468.65 m
↓
S 39.888665°
W 45.505371°		 ← 468.65 m →
219 641 m²		 S 39.888665°
W 45.499878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373603820800781 y=0.621009826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373603820800781 × 216)
    floor (0.373603820800781 × 65536)
    floor (24484.5)     		tx = 24484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621009826660156 × 216)
    floor (0.621009826660156 × 65536)
    floor (40698.5)     		ty = 40698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24484 / 40698 ti = "16/24484/40698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24484/40698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24484 ÷ 216
    24484 ÷ 65536     		x = 0.37359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40698 ÷ 216
    40698 ÷ 65536     		y = 0.621002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79421855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.760279227974091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79421855} λ = -0.79421855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760279227974091))-π/2
    2×atan(0.467535859690817)-π/2
    2×0.437340675426871-π/2
    0.874681350853742-1.57079632675     		φ = -0.69611498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79421855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69611498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.884450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24484 KachelY 40698 -0.79421855 -0.69611498 -45.505371 -39.884450
    Oben rechts KachelX + 1 24485 KachelY 40698 -0.79412268 -0.69611498 -45.499878 -39.884450
    Unten links KachelX 24484 KachelY + 1 40699 -0.79421855 -0.69618854 -45.505371 -39.888665
    Unten rechts KachelX + 1 24485 KachelY + 1 40699 -0.79412268 -0.69618854 -45.499878 -39.888665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69611498--0.69618854) × R
    7.3559999999917e-05 × 6371000     		dl = 468.650759999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69611498--0.69618854) × R
    7.3559999999917e-05 × 6371000     		dr = 468.650759999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79421855--0.79412268) × cos(-0.69611498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767339207568037 × 6371000     		do = 468.681403424038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79421855--0.79412268) × cos(-0.69618854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767292035774204 × 6371000     		du = 468.652591469276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69611498)-sin(-0.69618854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767339207568037-0.767292035774204)×R²
    abs(-0.79412268--0.79421855)×4.71717938334004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71717938334004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71717938334004e-05×40589641000000     		ar = 219641.144639106m²