Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24483 / 25255
↖ ↑ ↗
← S 69.314440°
E 88.978271°		 ← 431.53 m → S 69.314440°
E 88.989258°		 →
↑
431.51 m
↓
↑
431.51 m
↓
S 69.318320°
E 88.978271°		 ← 431.45 m →
186 192 m²		 S 69.318320°
E 88.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747177124023438 y=0.770736694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747177124023438 × 215)
    floor (0.747177124023438 × 32768)
    floor (24483.5)     		tx = 24483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770736694335938 × 215)
    floor (0.770736694335938 × 32768)
    floor (25255.5)     		ty = 25255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24483 / 25255 ti = "15/24483/25255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24483/25255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24483 ÷ 215
    24483 ÷ 32768     		x = 0.747161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25255 ÷ 215
    25255 ÷ 32768     		y = 0.770721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747161865234375 × 2 - 1) × π
    0.49432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55296380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.54144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70099294611807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55296380} λ = 1.55296380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70099294611807))-π/2
    2×atan(0.18250221918457)-π/2
    2×0.180515568159602-π/2
    0.361031136319203-1.57079632675     		φ = -1.20976519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55296380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20976519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.314440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24483 KachelY 25255 1.55296380 -1.20976519 88.978271 -69.314440
    Oben rechts KachelX + 1 24484 KachelY 25255 1.55315555 -1.20976519 88.989258 -69.314440
    Unten links KachelX 24483 KachelY + 1 25256 1.55296380 -1.20983292 88.978271 -69.318320
    Unten rechts KachelX + 1 24484 KachelY + 1 25256 1.55315555 -1.20983292 88.989258 -69.318320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20976519--1.20983292) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dl = 431.507830000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20976519--1.20983292) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dr = 431.507830000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55296380-1.55315555) × cos(-1.20976519) × R
    0.000191750000000157 × 0.353239083478644 × 6371000     		do = 431.530729011892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55296380-1.55315555) × cos(-1.20983292) × R
    0.000191750000000157 × 0.353175719012746 × 6371000     		du = 431.453320493295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20976519)-sin(-1.20983292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353239083478644-0.353175719012746)×R²
    abs(1.55315555-1.55296380)×6.33644658980526e-05×R²
    0.000191750000000157×6.33644658980526e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.33644658980526e-05×40589641000000     		ar = 186192.187334875m²