Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24482 / 25313
↖ ↑ ↗
← S 69.538358°
E 88.967285°		 ← 427.06 m → S 69.538358°
E 88.978271°		 →
↑
427.05 m
↓
↑
427.05 m
↓
S 69.542199°
E 88.967285°		 ← 426.98 m →
182 359 m²		 S 69.542199°
E 88.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747146606445312 y=0.772506713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747146606445312 × 215)
    floor (0.747146606445312 × 32768)
    floor (24482.5)     		tx = 24482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772506713867188 × 215)
    floor (0.772506713867188 × 32768)
    floor (25313.5)     		ty = 25313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24482 / 25313 ti = "15/24482/25313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24482/25313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24482 ÷ 215
    24482 ÷ 32768     		x = 0.74713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25313 ÷ 215
    25313 ÷ 32768     		y = 0.772491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74713134765625 × 2 - 1) × π
    0.4942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55277205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55277205} λ = 1.55277205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71211430682993))-π/2
    2×atan(0.180483790813308)-π/2
    2×0.178561506590234-π/2
    0.357123013180469-1.57079632675     		φ = -1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55277205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24482 KachelY 25313 1.55277205 -1.21367331 88.967285 -69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 24483 KachelY 25313 1.55296380 -1.21367331 88.978271 -69.538358
    Unten links KachelX 24482 KachelY + 1 25314 1.55277205 -1.21374034 88.967285 -69.542199
    Unten rechts KachelX + 1 24483 KachelY + 1 25314 1.55296380 -1.21374034 88.978271 -69.542199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21367331--1.21374034) × R
    6.7030000000079e-05 × 6371000     		dl = 427.048130000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21367331--1.21374034) × R
    6.7030000000079e-05 × 6371000     		dr = 427.048130000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55277205-1.55296380) × cos(-1.21367331) × R
    0.000191749999999935 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 427.060917353351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55277205-1.55296380) × cos(-1.21374034) × R
    0.000191749999999935 × 0.349517418030748 × 6371000     		du = 426.984196424874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21367331)-sin(-1.21374034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349517418030748)×R²
    abs(1.55296380-1.55277205)×6.2801623701203e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2801623701203e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2801623701203e-05×40589641000000     		ar = 182359.184455303m²