Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24481 / 25275
↖ ↑ ↗
← S 69.391917°
E 88.956299°		 ← 429.98 m → S 69.391917°
E 88.967285°		 →
↑
429.92 m
↓
↑
429.92 m
↓
S 69.395783°
E 88.956299°		 ← 429.91 m →
184 840 m²		 S 69.395783°
E 88.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747116088867188 y=0.771347045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747116088867188 × 215)
    floor (0.747116088867188 × 32768)
    floor (24481.5)     		tx = 24481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771347045898438 × 215)
    floor (0.771347045898438 × 32768)
    floor (25275.5)     		ty = 25275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24481 / 25275 ti = "15/24481/25275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24481/25275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24481 ÷ 215
    24481 ÷ 32768     		x = 0.747100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25275 ÷ 215
    25275 ÷ 32768     		y = 0.771331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747100830078125 × 2 - 1) × π
    0.49420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55258030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.54266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70482789808768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55258030} λ = 1.55258030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70482789808768))-π/2
    2×atan(0.181803672242755)-π/2
    2×0.179839454487598-π/2
    0.359678908975197-1.57079632675     		φ = -1.21111742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55258030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21111742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.391917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24481 KachelY 25275 1.55258030 -1.21111742 88.956299 -69.391917
    Oben rechts KachelX + 1 24482 KachelY 25275 1.55277205 -1.21111742 88.967285 -69.391917
    Unten links KachelX 24481 KachelY + 1 25276 1.55258030 -1.21118490 88.956299 -69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 24482 KachelY + 1 25276 1.55277205 -1.21118490 88.967285 -69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21111742--1.21118490) × R
    6.74800000000086e-05 × 6371000     		dl = 429.915080000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21111742--1.21118490) × R
    6.74800000000086e-05 × 6371000     		dr = 429.915080000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55258030-1.55277205) × cos(-1.21111742) × R
    0.000191749999999935 × 0.351973705009607 × 6371000     		do = 429.984893007512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55258030-1.55277205) × cos(-1.21118490) × R
    0.000191749999999935 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 429.90773091471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21111742)-sin(-1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351973705009607-0.351910542261028)×R²
    abs(1.55277205-1.55258030)×6.31627485790376e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31627485790376e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31627485790376e-05×40589641000000     		ar = 184840.403172954m²