Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24480 / 25273
↖ ↑ ↗
← S 69.384181°
E 88.945313°		 ← 430.12 m → S 69.384181°
E 88.956299°		 →
↑
430.11 m
↓
↑
430.11 m
↓
S 69.388049°
E 88.945313°		 ← 430.04 m →
184 979 m²		 S 69.388049°
E 88.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747085571289062 y=0.771286010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747085571289062 × 215)
    floor (0.747085571289062 × 32768)
    floor (24480.5)     		tx = 24480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771286010742188 × 215)
    floor (0.771286010742188 × 32768)
    floor (25273.5)     		ty = 25273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24480 / 25273 ti = "15/24480/25273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24480/25273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24480 ÷ 215
    24480 ÷ 32768     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25273 ÷ 215
    25273 ÷ 32768     		y = 0.771270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70444440289072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70444440289072))-π/2
    2×atan(0.181873406448361)-π/2
    2×0.179906956714865-π/2
    0.359813913429729-1.57079632675     		φ = -1.21098241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21098241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.384181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24480 KachelY 25273 1.55238856 -1.21098241 88.945313 -69.384181
    Oben rechts KachelX + 1 24481 KachelY 25273 1.55258030 -1.21098241 88.956299 -69.384181
    Unten links KachelX 24480 KachelY + 1 25274 1.55238856 -1.21104992 88.945313 -69.388049
    Unten rechts KachelX + 1 24481 KachelY + 1 25274 1.55258030 -1.21104992 88.956299 -69.388049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21098241--1.21104992) × R
    6.75100000000484e-05 × 6371000     		dl = 430.106210000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21098241--1.21104992) × R
    6.75100000000484e-05 × 6371000     		dr = 430.106210000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55258030) × cos(-1.21098241) × R
    0.000191739999999996 × 0.352100072496406 × 6371000     		do = 430.116836193827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55258030) × cos(-1.21104992) × R
    0.000191739999999996 × 0.352036884875179 × 6371000     		du = 430.039647741305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21098241)-sin(-1.21104992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352100072496406-0.352036884875179)×R²
    abs(1.55258030-1.55238856)×6.31876212273119e-05×R²
    0.000191739999999996×6.31876212273119e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.31876212273119e-05×40589641000000     		ar = 184979.322727115m²